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第1章　函数与极限 1

1.1 函数 1

1.1.1　映射与函数 1

1.1.2　反函数 5

1.1.3　复合函数 6

1.1.4　基本初等函数、初等函数 7

习题1.1 7

1.2　函数的极限 8

1.2.1　数列的极限 8

1.2.2　函数的极限 11

1.2.3　函数极限的性质 13

习题1.2 14

1.3　极限运算法则 14

习题1.3 16

1.4　极限存在准则与两个重要极限 16

1.4.1　极限存在准则 16

1.4.2　两个重要极限 17

习题1.4 19

1.5　无穷小与无穷大 20

1.5.1　无穷小 20

1.5.2　无穷大 21

1.5.3　无穷小的比较 21

习题1.5 22

1.6 函数的连续性与连续函数的运算 22

1.6.1　函数的连续性 22

1.6.2 函数的间断点 24

1.6.3　连续函数的性质与四则运算 25

习题1.6 26

1.7　初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质 26

1.7.1　初等函数的连续性 26

1.7.2　闭区间上连续函数的性质 26

习题1.7 28

总习题1 28

第2章　导数与微分 30

2.1　函数的导数 30

2.1.1 引例 30

2.1.2　导数定义 32

2.1.3　求导举例 33

2.1.4　导数的几何意义 35

2.1.5　可导性与连续性的关系 36

习题2.1 37

2.2　函数的求导法则 38

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 38

2.2.2　复合函数的求导法则 40

2.2.3　反函数的导数 41

2.2.4　基本求导公式及求导法则 42

习题2.2 43

2.3　高阶导数 44

习题2.3 46

2.4　隐函数与参数方程所确定的函数的导数 46

2.4.1　隐函数的导数 46

2.4.2 由参数方程所确定的函数的导数 48

习题2.4 50

2.5　函数的微分 50

2.5.1　微分的定义 50

2.5.2　微分的几何意义 52

2.5.3　微分的运算法则与公式 52

2.5.4　微分在近似计算中的应用 54

习题2.5 55

2.6　微分中值定理 56

2.6.1　罗尔定理 56

2.6.2　拉格朗日中值定理 57

2.6.3　柯西中值定理 59

习题2.6 60

2.7　洛必达法则 60

2.7.1　0/0型未定式的极限 61

2.7.2　∞／∞型未定式的极限 62

2.7.3　其他类型未定式的极限 63

习题2.7 65

2.8 函数的单调性与曲线的凹凸性 66

2.8.1　函数的单调性 66

2.8.2 曲线的凹凸性与拐点 67

习题2.8 69

2.9 函数的极值与最大值最小值 69

2.9.1　函数的极值 69

2.9.2　函数的最大值和最小值 72

习题2.9 73

2.10 函数作图 74

2.10.1 渐近线 74

2.10.2 函数作图 74

习题2.10 76

总习题2 76

第3章　一元函数积分学及其应用 79

3.1　不定积分 79

3.1.1　原函数与不定积分 79

3.1.2　换元积分法 83

3.1.3　分部积分法 88

3.1.4　积分法举例 90

习题3.1 92

3.2　定积分 93

3.2.1　定积分概念的引入 93

3.2.2　定积分的定义 96

3.2.3　定积分的几何意义 98

3.2.4　定积分的性质 98

习题3.2 101

3.3　定积分的计算 102

3.3.1　微积分的基本定理 102

3.3.2　定积分的换元积分法 106

3.3.3　定积分的分部积分法 108

习题3.3 109

3.4　定积分的应用 110

3.4.1　微元法 111

3.4.2　平面图形的面积 111

3.4.3　平面曲线的弧长 114

3.4.4　空间立体的体积 115

3.4.5　定积分在物理上的应用 117

习题3.4 119

3.5　广义积分 120

3.5.1　无穷区间上的广义积分 120

3.5.2　无界函数的广义积分 122

3.5.3　Г函数 123

习题3.5 124

总习题3 124

第4章　空间解析几何 127

4.1　空间直角坐标系 127

4.1.1　空间直角坐标系 127

4.1.2　空间两点间的距离 128

习题4.1 130

4.2 向量代数 130

4.2.1　向量的概念 130

4.2.2　向量的线性运算 131

4.2.3　向量的坐标表示 133

4.2.4　向量的模与方向余弦的坐标表示 135

4.2.5　向量的数量积 136

4.2.6　向量的向量积 138

习题4.2 139

4.3　平面与空间直线 140

4.3.1　平面及其方程 140

4.3.2　空间直线及其方程 143

习题4.3 145

4.4　空间曲面与空间曲线 146

4.4.1　空间曲面及其方程 146

4.4.2　空间曲线及其方程 151

习题4.4 152

总习题4 153

第5章 多元函数的微分法及其应用 155

5.1　多元函数的概念 155

5.1.1　多元函数及其定义域 155

5.1.2　二元函数的几何表示 157

5.1.3　二元函数的极限 157

5.1.4　二元函数的连续性 159

习题5.1 160

5.2　二元函数的偏导数与全微分 161

5.2.1　偏导数 161

5.2.2　高阶偏导数 163

5.2.3　全微分 165

5.2.4　全微分在近似计算中的应用 167

习题5.2 167

5.3　多元复合函数与隐函数的求导法则 168

5.3.1　多元复合函数的求导法则 168

5.3.2　隐函数的求导法则 172

习题5.3 174

5.4　偏导数在几何上的应用 174

5.4.1　空间曲线的切线与法平面 174

5.4.2　曲面的切平面与法线 177

习题5.4 180

5.5　多元函数的极值 181

5.5.1　多元函数极值的定义 181

5.5.2　多元函数极值的计算 183

5.5.3　最大值与最小值 184

5.5.4　条件极值 185

5.5.5　最小二乘法 187

习题5.5 189

5.6　方向导数与梯度 190

5.6.1　方向导数 190

5.6.2　梯度 192

习题5.6 193

总习题5 194

第6章　多元函数积分学及其应用 196

6.1　二重积分的概念与性质 196

6.1.1　二重积分的概念 196

6.1.2　二重积分的性质 199

习题6.1 200

6.2　二重积分的计算 200

6.2.1　直角坐标系下的二重积分的计算 200

6.2.2　极坐标系下的二重积分的计算 205

习题6.2 208

6.3　二重积分的应用 209

习题6.3 211

6.4　三重积分 211

6.4.1　三重积分的概念 211

6.4.2　直角坐标系下三重积分的计算 212

6.4.3　柱面坐标系下三重积分的计算 215

6.4.4　球坐标系下三重积分的计算 216

习题6.4 218

总习题6 219

第7章　微分方程 221

7.1　微分方程的基本概念 221

习题7.1 225

7.2　可分离变量的微分方程 226

7.2.1　Logistic模型的应用——人口预测 229

7.2.2　Logistic模型的应用——传染病传播模型 231

习题7.2 233

7.3　齐次微分方程 233

习题7.3 236

7.4　一阶线性微分方程 236

7.4.1　一阶线性微分方程 236

7.4.2　伯努利（Bernoulli）方程 240

习题7.4 242

7.5　可降阶的二阶微分方程 242

7.5.1　y″＝f（x）型的微分方程 242

7.5.2　y″＝f（x,y′）型的微分方程 243

7.5.3　y″＝f（y,y′）型的微分方程 244

习题7.5 246

7.6　二阶线性微分方程解的结构 247

习题7.6 249

7.7　二阶常系数齐次线性微分方程 250

习题7.7 252

7.8　二阶常系数非齐次线性微分方程 252

7.8.1　f(x)=eλxPm（x）型 253

7.8.2 f(x)=eαx［pl(x)cosβx+pm(x)sinβx］型 254

习题7.8 256

总习题7 256

第8章　无穷级数 259

8.1　常数项级数及性质 259

8.1.1　常数项级数的概念 259

8.1.2　无穷级数的基本性质 261

习题8.1 263

8.2　常数项级数收敛性的判别法 263

8.2.1　正项级数及其收敛性的判别法 263

8.2.2　交错级数及其审敛法&.. 266

8.2.3　绝对收敛与条件收敛 267

习题8.2 268

8.3　幂级数 269

8.3.1 函数项级数的概念 269

8.3.2　幂级数及其收敛性 269

8.3.3　幂级数的运算 273

习题8.3 274

8.4　函数的幂级数展开 275

8.4.1　泰勒公式 275

8.4.2　泰勒级数 277

8.4.3　函数展开成幂级数的方法 278

习题8.4 280

8.5　傅立叶级数 280

8.5.1　三角级数 280

8.5.2　三角函数系的正交性 280

8.5.3　函数展开成傅立叶级数 281

8.5.4　正弦级数和余弦级数 284

8.5.5　一般周期函数的傅立叶级数 286

习题8.5 287

总习题8 288

习题参考答案 290

参考文献 305