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第1章函数、极限、连续 1

问题1.1如何理解复合函数概念，怎样求分段函数的复合函数？ 1

问题1.2函数y＝f（x）满足什么条件时具有反函数，如何求分段函数的反函数？ 2

问题1.3数列极限定义中的ε、N应如何理解？ 3

问题1.4若数列｛un｝收敛，则数列｛u2n－1｝，｛u2n｝，｛u2n－1＋u2n｝，｛｜un｜｝是否收敛？反之，若数列｛u2n－1｝，｛u2n｝皆收敛，那么｛un｝是否必收敛？又若｛u2n－1＋u2n｝收敛，｛un｝是否收敛？若｛｜un｜｝收敛，｛un｝是否必收敛？ 4

问题1.5已给数列｛un｝及｛vn｝，若数列｛unvn｝收敛，且？unvn＝0，则下列论述是否正确？ 5

（1）若｛un｝发散，则｛vn｝必收敛于0，即必有？vn＝0． 5

（2）若｛un｝收敛，且？un＝0，则｛vn｝必为有界数列． 5

（3）若｛un｝收敛，且？un＝0，则｛vn｝必收敛． 5

（4）若｛un｝收敛，且？un＝a（a≠0），则｛vn｝必收敛，且？vn＝0． 5

问题1.6极限四则运算法则在什么条件下成立？ 5

问题1.7收敛数列、有界数列、发散数列、无界数列、无穷大量，这几个概念之间是什么关系？ 6

问题1.8如何求数列｛un｝的极限？ 6

问题1.9如何理解函数的极限？f（x）＝A及？f（x）＝A的定义？如何利用数列的极限描述函数的极限？ 8

问题1.10左、右极限在求极限时起什么作用？何时要考虑左、右极限？ 9

问题1.11如何求复合函数的极限？ 10

问题1.12无穷小量、无穷大量、函数有极限、有界函数、无界函数，这几个概念之间有什么关系？ 11

问题1.13如何理解无穷小的阶与等价无穷小的概念？在用等价无穷小的代 11

换定理求极限时应注意什么？ 11

问题1.14怎样理解函数的连续性概念与间断点概念？ 13

第2章一元函数微分学 14

问题2.1如何正确理解导数的定义？ 14

问题2.2如何研究分段函数的可导性？ 15

问题2.3分段函数f（x）在分段点x0处的左、右导数f′－（x0）、f′＋（x0）与？f′（x）、？f′（x）有什么关系？ 17

问题2.4奇、偶函数的导数分别为偶、奇函数，周期函数的导数仍为周期函数，这样的结论正确吗？ 18

问题2.5如何求函数的高阶导数？ 19

问题2.6函数y＝f（x）在点x处的微分dy与函数f（x）在点x处的增量△y是什么关系？ 23

问题2.7如何利用微分中值定理研究函数的性态？ 24

问题2.8在用罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理证明函数与导数之间的关系时，常常要考虑应选用哪个定理，并时常要构造辅助函数，这是证明的难点，应如何处理，有什么规律可循？ 26

问题2.9用洛必达法则求未定式的值应注意哪些问题？ 28

问题2.10如何正确使用等价无穷小的代换定理？它在求极限中有什么作用？ 31

问题2.11确定方程f（x）＝0的实根个数有哪些方法？ 33

问题2.12如何利用中值定理及函数的性态证明不等式？有哪些方法？ 35

问题2.13连续函数f（x）在区间［a，b］上的最大（小）值与函数f（x）在［a，b］上的极值之间有什么关系？ 37

问题2.14如何求曲线y＝f（x）的渐近线？ 38

第3章一元函数积分学 41

问题3.1原函数与不定积分的定义中为什么要特别指明一个区间I？ 41

问题3.2原函数的存在定理指出，若函数f（x）连续，则f（x）的原函数F（x）必存在．f（x）在点x＝x0处不连续是否意味着F（x0）不存在？ 42

问题3.3偶函数的原函数是否必为奇函数？奇函数的原函数是否必为偶函数？周期函数的原函数是否必为周期函数？ 42

问题3.4如何求分段函数的原函数？应注意什么问题？ 43

问题3.5在求积分时如何选择两类换元法？ 44

问题3.6哪些函数的积分需用分部积分法？当用分部积分法∫udv＝uv- 48

∫vdu求积分时，如何选择u与dv？ 48

问题3.7有理函数的积分主要是将其化为部分分式，即最简分式，再用换元法求积分．三角函数有理式的积分，主要是靠置换式tan？＝u，将其化为有理函数的积分．是否这两类函数的积分必须按这种方法来处理？ 52

问题3.8定积分概念是如何引出的？其中要点是什么？ 56

问题3.9试问：函数的定积分存在与原函数存在之间的关系？ 58

问题3.10求变上限积分所确定的函数的导数，应注意什么问题？ 59

问题3.11如何利用牛顿—莱布尼茨公式计算分段函数的定积分？ 61

问题3.12用换元法计算定积分要注意什么问题？ 63

问题3.13在计算周期函数的定积分时，如何利用周期函数的定积分性质？ 66

问题3.14如何证明含有积分的不等式？ 68

问题3.15在计算广义积分时应注意哪些问题？ 72

问题3.16如何运用定积分解决实际问题？应注意什么？ 75

第4章向量代数与空间解析几何 79

问题4.1在作向量的和（差）、数与向量的乘积、数量积与向量积运算时应注意什么问题？ 79

问题4.2如何判定向量之间的关系，如二向量平行、垂直、三向量共面等？ 80

问题4.3如何用向量证明几何问题？ 82

问题4.4平面方程有几种形式？怎样依据已给条件求平面方程？ 83

问题4.5空间直线方程有几种形式？如何确定一条直线的方程？ 85

问题4.6怎样求旋转曲面的方程？ 88

第5章多元函数微分学 90

问题5.1二元函数的极限定义与一元函数的极限定义有什么不同？应注意什么问题？ 90

问题5.2求？f（x，y），能否先将x视为常量求？f（x，y），若此极限存在，则必为x的函数，再令x→x0求该函数极限，即求？［？f（x，y）］或求？［？f（x，y）］ 92

问题5.3如何求二元函数的极限？ 93

问题5.4二元函数可导、可微与连续之间有何关系？ 95

问题5.5二元函数的可导与可微之间是什么关系？ 96

问题5.6若二元函数z＝f（u，v）可导，u＝ψ（x，y），v＝ψ（x，y）可导，能否 97

断言复合函数g＝f（ψ（x，y），ψ（x，y））可导？ 97

问题5.7多元复合函数有多种不同结构，在求复合函数的偏导数，特别是求高阶偏导数时要注意什么问题？ 98

问题5.8如何求多元复合函数的全微分，微分形式不变性在求复合函数全微分时有什么作用？ 102

问题5.9如何求隐函数的偏导数？ 104

问题5.10如何求隐函数的二阶导数？ 106

问题5.11二元函数的偏导数与方向导数有什么联系？ 109

问题5.12函数的全微分存在与函数有任意方向的方向导数是什么关系？ 110

问题5.13如何求多元函数在有界闭域上的最大值与最小值？ 111

第6章多元函数积分学 112

问题6.1将二重积分化为二次积分计算应注意什么问题？ 112

问题6.2在什么情况下采用极坐标计算二重积分，应注意什么问题？ 114

问题6.3在计算二重积分时如何利用积分域与被积函数的对称性简化计算？ 115

问题6.4如何用二重积分处理某些定积分问题？ 118

问题6.5将三重积分化为二重积分及定积分计算有哪些方法，应如何选择积分次序？ 119

问题6.6计算三重积分何时采用柱面坐标或球面坐标？又怎样确定积分次序与积分限？ 122

问题6.7怎样用三重积分解决定积分的相关问题？ 125

问题6.8能用重积分解决的实际问题有什么特点？ 128

问题6.9曲线积分概念与定积分概念有什么联系，它们的不同点是什么？ 129

问题6.10将曲线积分化为定积分计算时应注意什么问题？ 129

问题6.11曲面积分概念与二重积分概念有什么联系？ 134

问题6.12将两类曲面积分化为二重积分时，应注意什么问题？ 135

问题6.13在平面曲线积分的计算中，如何正确使用格林公式？ 139

问题6.14如何正确运用高斯公式计算曲面积分？ 141

问题6.15斯托克斯公式建立了沿曲线Γ的曲线积分与以Γ为边界的曲面∑上的曲面积分的关系，公式的成立是否与∑的选取有关？ 144

问题6.16在什么情况下用斯托克斯公式计算空间曲线积分可以简化计算？ 144

问题6.17格林公式与高斯公式、斯托克斯公式有什么联系？在线面积分中起什么作用？ 146

问题6.18牛顿—莱布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式， 149

它们之间有什么联系？有什么共同点？ 149

第7章级数 152

问题7.1判断正项级数的敛散性有多种准则，哪一类级数该用什么准则去判断，有什么规律可循？ 152

问题7.2如何判断任意项级数的敛散性？ 154

问题7.3若级数不满足审敛准则的条件，是否可以断言级数必发散？ 156

问题7.4能否利用级数的敛散性判断数列的敛散性？ 158

问题7.5加法运算的满足的规律，对于无穷级数是否仍成立？在什么条件下成立？ 159

问题7.6条件收敛级数与绝对收敛级数的本质差异是什么？ 161

问题7.7如何求幂级数的收敛域？ 162

问题7.8如何求幂级数的和函数？ 164

问题7.9如何利用幂级数求数项级数的和？ 167

问题7.10函数f（x）具备什么条件可以展开成幂级数？ 169

问题7.11用间接展开法将函数展成幂级数，应注意什么问题？ 170

问题7.12在区间［a，b］上给出函数f（x），如何将其展成以b-a为周期的傅里叶级数？ 171

问题7.13定义在半区间［0，ι］上的函数f（x）能否展成既含余弦项又含正弦项的三角级数？ 174

第8章常微分方程 176

问题8.1微分方程的通解是否是指微分方程的一切解的全体？ 176

问题8.2在求微分方程的通解时，是否会失去方程的一些解？ 177

问题8.3解全微分方程有哪些方法？ 178

问题8.4线性微分方程的特点是什么？如何借助线性微分方程的特点求出方程的通解？ 181

问题8.5已知微分方程的通解，如何求微分方程？ 185

问题8.6对于未知函数出现在积分号下的方程如何求解？ 187

问题8.7解微分方程的关键是什么？ 189

问题8.8解一阶线性微分方程组时应注意什么问题？ 194