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第1章 概论 1

1.1 随机过程的基本特点 1

目录 1

1.2 随机过程的研究范围 2

1.3 随机过程的分类方法（1） 2

1.4 随机过程的示例 3

1.5 随机过程的数字特征及基本概念 4

1.6 随机过程的分类方法（2） 6

1.7 习题 7

2.1 相关函数 9

第2章 平稳过程与二阶矩过程 9

2.2 功率谱 14

2.3 功率谱与时域平均 15

2.4 线性系统 18

2.4.1 平均值和自相关 18

2.4.2 功率谱 19

2.5 随机连续性 22

2.5.1 引言 22

2.5.2 平均值的连续性 23

2.6 随机微分（均方意义） 23

2.6.1 关于微分运算的性质 24

2.6.2 平稳过程的微分特性 25

2.7 Taylor级数 25

2.8 随机微分方程 26

2.9 随机积分 27

2.10 遍历性讨论 28

2.10.1 平均值的遍历性 28

2.10.2 自相关的遍历性 31

2.10.3 分布函数的遍历性 32

2.11 抽样定理与随机预测 33

2.11.1 随机过程抽样定理 33

2.11.2 信号的随机预测 34

2.12 习题 35

第3章 离散鞅论 38

3.1 条件概率 38

3.1.1 条件概率的物理解释 38

3.1.2 条件概率的性质 39

3.2 鞅的定义与基本性质 40

3.3 鞅的举例与基本构造方法 41

3.3.1 鞅的示例 41

3.3.2 关于鞅的构造方法 47

3.4.2 上、下鞅的基本性质 48

3.4 上鞅、下鞅的定义及基本性质 48

3.4.1 基本定义 48

3.5 Jensen不等式与下鞅的构造 49

3.6 分解定理 49

3.7 停时与停时定理 52

3.7.1 停时的基本概念 52

3.7.2 几个基本的停时定理 53

3.7.3 停时定理的证明 54

3.7.4 停时定理的应用 57

3.8 关于停时的Wald恒等式 58

3.9 上穿不等式及应用 59

3.10 极大值不等式与Doob定理 62

3.10.1 Markov不等式 62

3.10.2 Chernoff界 62

3.10.3 极大值不等式 62

3.10.4 最大值估计定理 64

3.11 鞅论的应用（1） 65

3.11.1 三人赌博问题 65

3.11.2 关于对称随机移动 67

3.12 Azuma不等式 68

3.13 Azuma不等式的推广 72

3.14 鞅论的应用（2） 73

3.14.1 Azuma不等式在古典概率估计中的应用 73

3.14.2 无线Ad Hoc网络中网络编码的容量计算 75

3.15 连续鞅论介绍 77

3.16 习题 78

第4章 Poisson过程与更新过程 81

4.1 Poisson过程的定义 81

4.2 Poisson过程的基本性质 83

4.3 Poisson过程与指数分布的关系 84

4.4 到达时间的条件分布 88

4.5 Poisson过程的分流 94

4.6 非时齐Poisson过程 95

4.7 复合Poisson过程 96

4.7.1 复合Poisson过程的定义 96

4.7.2 复合Poisson恒等式 98

4.8 条件Poisson过程 99

4.9 双重随机Poisson过程 101

4.10 更新过程 102

4.11 更新函数的性质与应用 104

4.12 更新过程的剩余寿命与年龄 108

4.13 Wald等式 111

4.14 习题 113

第5章 Brown运动 118

5.1 Brown运动的概念 118

5.2 正态分布的有关理论 119

5.2.1 Cauchy分布与正态随机变量 119

5.2.2 区域分布与互相关系数的关系 120

5.2.3 Bayes定理与条件分布密度表示理论 121

5.2.4 联合正态分布的边缘分布密度与条件分布密度 122

5.2.5 几个基本关系式 123

5.2.7 零交叉问题 124

5.2.6 反正弦率 124

5.2.8 正态分布的拖尾概率估计—…Mill比值 126

5.3 随机移动和Brown运动 127

5.4 Brown运动的有限维联合概率密度 128

5.5 Brown运动的性质 129

5.5.1 Brown运动的Markov性 130

5.5.2 正态过程 132

5.5.3 反射性 133

5.5.4 时间可逆性 133

5.6 最大值与首中时的分布特性 134

5.7 过零点的反正弦定理 138

5.8 Brown运动的推广 140

5.8.1 带吸收点的Brown运动 140

5.8.2 原点反射的Brown运动 141

5.8.3 几何Brown运动 142

5.8.4 Brown运动的积分 142

5.8.5 Brown运动的形式导数 142

5.9 Brown桥与经验分布 143

5.9.1 Brown桥的基本概念与性质 143

5.9.2 经验分布与Brown桥的关系 144

5.9.3 经验分布的误差估计 146

5.10 带漂移的Brown运动 147

5.10.1 移出区间的概率计算 147

5.10.2 首中时问题 148

5.11 Brown运动的轨道性质 150

5.12 N维Brown运动 152

5.12.1 N维Brown运动的定义与性质 152

5.12.2 二维Brown运动的从属过程 153

5.12.3 辐射型Brown运动 153

5.13 习题 154

6.2 基本概念 157

6.1 引言 157

第6章 Markov链 157

6.3 转移概率矩阵 161

6.4 Markov链状态的分类 163

6.4.1 关于Markov链状态的一些基本定义 163

6.4.2 一些基本关系式 163

6.4.3 状态之间的等价关系 169

6.5 状态空间的分解 172

6.6 极限特性与平稳分布 174

6.6.1 极限特性 175

6.6.2 平稳分布 177

6.6.3 平衡方程及其应用 181

6.7 转移矩阵的平均极限 185

6.8 有限状态不可约Markov链平稳分布的矩阵计算 186

6.9 吸收概率的计算 188

6.9.1 非常返状态子矩阵的特性 189

6.9.2 从非常返态到吸收态转移概率的计算 189

6.9.3 从非常返态到吸收态转移时间的计算 190

6.10 Metropolis抽样算法 193

6.10.1 Metropolis抽样算法的描述 193

6.10.2 Metropolis抽样算法的理论分析 194

6.11 习题 195

7.1 定义与基本概念 201

第7章 连续参数Markov链 201

7.2 转移率矩阵：Q矩阵与其概率意义 202

7.3 Q矩阵的计算 202

7.4 Kolmogorov前向后向微分方程 206

7.5 平稳分布与极限分布及其矩阵计算 207

7.5.1 极限分布存在性 208

7.5.2 平稳分布及其矩阵计算 210

7.6 平稳分布的计算与应用 212

7.7.1 引言与工程问题示例 218

7.7 一致性规则与强Markov链 218

7.7.2 强Markov过程 219

7.7.3 指数分布与嵌入Markov链的应用 222

7.7.4 连续Markov链的一致性规则 224

7.8 Q过程的一致性处理 226

7.9 有限状态不可约连续Markov链的计算机仿真 227

7.10 平稳分布与时间可逆性 228

7.11 时间可逆过程在排队论中的应用 230

7.12 习题 231

参考文献 235