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第一章　绪论 1

第一节　数值分析方法的内容 1

第二节　误差与有效数字 1

一、误差的来源 1

目录 1

二、绝对误差与相对误差 2

三、有效数字 3

第三节　误差的传播 4

一、选择数值稳定的算法 6

第四节　误差的改善 6

二、避免两个相近的数相减 7

三、避免大数“吃”小数现象 8

四、避免绝对值太小的数作除数 9

五、简化计算步骤，减少运算次数 9

评注 10

第五节　Mathematica应用实例 10

习题一 14

一、多项式插值 15

第二节　拉格朗日（Lagrange）插值 15

第二章　插值法 15

第一节　插值问题与插值多项式 15

二、插值多项式的误差估计 16

三、Lagrange插值多项式 18

第三节　牛顿（Newton）插值 21

一、差商（Divided Difference）及其计算 22

二、Newton插值 23

三、差分（Difference）及其性质 25

四、等距节点插值公式 27

第四节　埃尔米特（Hermite）插值 29

一、分段线性插值 33

第五节　分段低次插值 33

二、分段三次Hermite插值 35

第六节　三次样条插值 37

一、三次样条函数 37

二、以节点处的二阶导数值为参数的三次样条插值函数 38

三、以节点处的导数值为参数的三次样条插值函数 40

四、误差估计及收敛性 42

评注 42

第七节　Mathematica应用实例 43

习题二 48

第三章　函数逼近 50

第一节　曲线拟合的最小二乘法 51

一、多项式拟合 51

二、指数拟合 53

三、线性最小二乘法的一般形式 54

第二节　正交多项式 56

一、基本概念和性质 56

二、格拉姆—施密特（Gram-Schmidt）方法 57

三、常用的正交多项式 59

评注 62

第三节　Mathematica应用实例 63

习题三 67

第四章　解线性方程组的直接方法 68

第一节　高斯（Gauss）消元法 69

第二节　主元素法 72

第三节　直接三角分解法 75

一、矩阵的三角分解 75

二、直接三角分解法 80

三、解三对角方程组的追赶法 82

第四节　平方根法与改进的平方根法 84

一、向量和矩阵的范数 89

第五节　误差分析 89

二、方程组的状态与条件数 92

三、误差分析 95

四、超定方程组的最小二乘解 95

评注 96

第六节　Mathematica应用实例 97

习题四 100

第五章　解线性方程组的迭代法 103

第一节　迭代法概述 103

第二节　雅可比（Jacobi）迭代法 105

第三节　高斯—塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法 108

第四节　松弛法 109

第五节　迭代法的收敛条件 111

一、有关基本概念 111

二、迭代法的收敛条件 113

三、Gauss-Seide迭代法、Jacobi迭代法和SOR迭代法的收敛性 114

四、误差估计 116

评注 117

第六节　Mathematica应用实例 118

习题五 122

一、差商型数值微分 124

第六章　数值微分与数值积分 124

第一节　数值微分 124

二、插值型数值微分 125

三、样条插值数值微分 127

第二节　数值积分 128

一、数值积分（NumericalIntegration）的基本思想 128

二、牛顿—柯特斯（Newton-Cotes）公式 129

三、误差估计 131

第三节　复化数值积分 134

一、复化梯形积分 134

二、复化辛普森（Simpson）积分 135

三、逐次分半算法 138

第四节　龙贝格（Romberg）求积公式 139

一、李查逊（Richardson）外推算法 139

二、Romberg求积公式 140

第五节　高斯（Gauss）型求积公式 142

一、Gauss求积公式的一般理论 142

二、几种常用的Gauss型求积公式 144

评注 146

第六节　Mathematica应用实例 147

习题六 151

第七章　非线性方程求根 153

第一节　二分法 153

第二节　迭代法及其收敛性 155

一、基本迭代法 155

二、迭代法的收敛条件 156

三、迭代法的局部收敛性 158

四、迭代法的加速 159

第三节　Newton法与弦截法 161

一、Newton迭代法 161

二、Newton迭代法的局部收敛性 162

三、弦截法 164

第四节　解非线性方程组的Newton法 165

评注 167

第五节　Mathematica应用实例 167

习题七 171

第八章　常微分方程数值解法 172

第一节　欧拉（Euler）方法 172

一、Euler方法 172

第二节　改进的Euler方法 174

一、梯形公式 174

二、Euler方法的误差估计 174

二、改进的Euler方法 175

第三节　龙格—库塔（Runge-Kutta）法 177

一、Runge-Kutta法的基本思想 177

二、R-K方法的构造 177

三、变步长的R-K方法 180

第四节　线性多步法 181

一、线性多步公式的构造 182

二、常用线性多步公式 184

一、一阶微分方程组的数值解法 188

第五节　一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法 188

二、高阶微分方程的数值解法 190

评注 192

第六节　Mathematica应用实例 192

习题八 197

第九章　矩阵特征值与特征向量的计算 199

第一节　幂法和反幂法 199

一、幂法 199

二、幂法的加速 202

三、反幂法 204

第二节　Jacobi方法 205

一、矩阵的旋转变换 206

二、Jacobi方法 208

第三节　QR方法 210

一、矩阵的QR分解 211

二、基本QR方法 211

三、豪斯豪尔德（Householder）变换 213

四、化一般矩阵为拟上三角阵 214

五、拟上三角矩阵的QR分解 216

第四节　Mathematica应用实例 217

评注 217

习题九 220

附录　Mathematica简介 222

一、Mathematica中的基本量 222

二、在Mathematica中作图 226

三、初等代数运算 229

四、微积分 230

五、线性代数 233

六、数值计算方法 234

习题参考答案 239

参考文献 244