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第五章　多元函数微分学及其应用 1

第一节　多元函数的极限与连续 1

1.1　Rn空间中点集的初步知识 1

1.2　多元函数的概念 4

1.3 多元函数的极限与连续性 5

习题5.1 8

第二节　多元函数的偏导数与全微分 10

2.1　偏导数 10

2.2　全微分 14

2.3　高阶偏导数 20

2.4　方向导数与梯度 22

习题5.2 29

第三节　多元复合函数和隐函数的微分法 31

3.1 多元复合函数的偏导数与全微分 32

3.2 由一个方程确定的隐函数的微分法 37

3.3 由方程组所确定的隐函数的微分法 39

习题5.3 42

第四节　多元函数的极值问题 44

4.1　无约束极值 44

4.2　最大值与最小值 46

4.3　有约束极值，Lagrange乘数法 52

习题5.4 56

＊第五节　二元函数的Taylor公式 57

5.1　二元函数的Taylor公式 57

5.2　二元函数极值充分条件的证明 59

习题5.5 60

第六节　向量值函数的导数与微分 60

6.1　一元向量值函数的导数与微分 61

6.2　二元向量值函数的导数与微分 66

6.3　微分运算法则 69

习题5.6 71

第七节　多元函数微分学在几何中的应用 72

7.1 空间曲线的切线与法平面 72

7.2　弧长 77

7.3 曲面的切平面与法线 81

7.4 曲率 89

＊7.5　Frenet标架 95

＊7.6　挠率 100

习题5.7 102

第五章习题 105

综合练习题 107

第六章　多元函数积分学及其应用 108

第一节　多元数量值函数积分的概念与性质 108

1.1　物体质量的计算 108

1.2 多元数量值函数积分的概念 110

1.3　多元数量值函数积分的性质 112

习题6.1 113

第二节　二重积分的计算 114

2.1　二重积分的几何意义 114

2.2 直角坐标系下二重积分的计算法 115

2.3　极坐标系下二重积分的计算法 121

＊2.4　二重积分的一般换元法 126

习题6.2 132

第三节　三重积分的计算 135

3.1　化三重积分为单积分与二重积分的累次积分 135

3.2　柱面坐标与球面坐标下三重积分的计算法 139

＊3.3　三重积分的一般换元法 145

习题6.3 147

第四节　重积分的应用 150

4.1　重积分的微元法 150

4.2　应用举例 153

习题6.4 157

第五节　第一型线积分与面积分 158

5.1　第一型线积分 158

5.2　第一型面积分 161

习题6.5 167

第六节　第二型线积分与面积分 170

6.1　场的概念 170

6.2　第二型线积分 172

6.3　第二型面积分 178

习题6.6 186

第七节　各种积分的联系及其在场中的应用 190

7.1　Green公式 190

7.2　平面线积分与路径无关的条件 194

7.3　Stokes公式与旋度 202

7.4　Gauss公式与散度 210

7.5　几种重要的特殊向量场 216

习题6.7 220

第六章习题 224

综合练习题 227

第七章　线性常微分方程 229

第一节　高阶线性微分方程 229

1.1 高阶线性微分方程举例 229

1.2　线性微分方程解的结构 232

1.3 高阶常系数线性齐次微分方程的解法 238

1.4 高阶常系数线性非齐次微分方程的解法 242

1.5 高阶变系数线性微分方程的求解问题 249

习题7.1 251

＊第二节　线性微分方程组 252

2.1　线性微分方程组的基本概念 252

2.2　线性微分方程组解的结构 253

2.3 常系数线性齐次微分方程组的求解方法 261

2.4 常系数线性非齐次微分方程组的求解 270

2.5　微分方程组应用举例 272

习题7.2 276

第七章习题 278

综合练习题 279

附录Ⅰ 矩阵与行列式初步 280

附录Ⅱ 向量代数与空间解析几何 290

部分习题答案与提示 335