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第九章　数项级数 1

1　数项级数的收敛性 1

数项级数 1

级数的基本性质 3

习题 7

2　上极限与下极限 8

数列的上极限和下极限 8

上极限和下极限的运算 12

习题 15

3　正项级数 16

正项级数 16

比较判别法 17

Cauchy判别法与d’Alembert判别法 19

Raabe判别法 22

积分判别法 24

习题 27

4　任意项级数 29

任意项级数 29

Leibniz级数 29

Abel判别法与Dirichlet判别法 31

级数的绝对收敛与条件收敛 34

加法交换律 37

级数的乘法 40

习题 43

无穷乘积的定义 45

5　无穷乘积 45

无穷乘积与无穷级数 48

习题 53

第十章函数项级数 55

1函数项级数的一致收敛性点态收敛 55

函数项级数（或函数序列）的基本问题 56

函数项级数（或函数序列）的一致收敛性 59

习题 68

2　一致收敛级数的判别与性质 69

一致收敛的判别 69

一致收敛级数的性质 74

处处不可导的连续函数之例 80

习题 82

3　幂级数 84

幂级数的收敛半径 84

幂级数的性质 86

习题 92

4　函数的幂级数展开 94

Taylor级数与余项公式 94

初等函数的Taylor展开 97

习题 106

5　用多项式逼近连续函数 107

习题 109

第十一章　Euclid空间上的极限和连续 110

1Euclid空间上的基本定理 110

Euclid空间上的距离与极限 110

开集与闭集 113

Euclid空间上的基本定理 115

紧集 118

习题 119

2　多元连续函数 120

多元函数 120

多元函数的极限 121

累次极限 123

多元函数的连续性 125

向量值函数 126

习题 128

紧集上的连续映射 130

3　连续函数的性质 130

连通集与连通集上的连续映射 132

习题 133

第十二章多元函数的微分学 135

1　偏导数与全微分 135

偏导数 135

方向导数 138

全微分 139

梯度 143

高阶偏导数 144

高阶微分 147

向量值函数的导数 148

习题 151

链式规则 155

2　多元复合函数的求导法则 155

一阶全微分的形式不变性 161

习题 163

3中值定理和Taylor公式 165

中值定理 165

Tavlor公式 167

习题 170

4　隐函数 171

单个方程的情形 171

多个方程的情形 177

逆映射定理 184

习题 186

空间曲线的切线和法平面 189

5　偏导数在几何中的应用 189

曲面的切平面与法线 195

习题 200

6　无条件极值 202

无条件极值 202

函数的最值 208

最小二乘法 211

“牧童”经济模型 213

习题 216

计算实习题 217

7　条件极值问题与Lagrange乘数法 218

Lagrange乘数法 218

一个最优价格模型 227

习题 229

1　有界闭区域上的重积分 232

面积 232

第十三章　重积分 232

二重积分的概念 234

多重积分 237

Peano曲线 239

习题 240

2　重积分的性质与计算 241

重积分的性质 241

矩形区域上的重积分计算 242

一般区域上的重积分计算 246

习题 251

曲线坐标 254

3　重积分的变量代换 254

二重积分的变量代换 255

变量代换公式的证明 260

n重积分的变量代换 265

均匀球体的引力场模型 269

习题 271

4　反常重积分 274

无界区域上的反常重积分 274

无界函数的反常重积分 280

习题 284

5　微分形式 285

有向面积与向量的外积 285

微分形式 287

微分形式的外积 289

习题 292

第十四章曲线积分、曲面积分与场论 294

1　第一类曲线积分与第一类曲面积分 294

第一类曲线积分 294

曲面的面积 298

Schwarz的例子 302

第一类曲面积分 304

通讯卫星的电波覆盖的地球面积 307

习题 308

2　第二类曲线积分与第二类曲面积分 311

第二类曲线积分 311

曲面的侧 316

第二类曲面积分 318

习题 323

3Green公式、Gauss公式和Stokes公式 325

Green公式 325

曲线积分与路径无关的条件 331

Gauss公式 336

Stokes公式 340

习题 344

4　微分形式的外微分 348

外微分 348

外微分的应用 351

习题 352

梯度 353

5　场论初步 353

通量与散度 354

向量线 356

环量与旋度 358

Hamilton算子 362

保守场与势函数 364

均匀带电直线的电场模型 367

热传导模型 369

习题 370

第十五章　含参变量积分 373

1　含参变量的常义积分 373

含参变量常义积分的定义 373

含参变量常义积分的分析性质 374

习题 377

2含参变量的反常积分 379

含参变量反常积分的一致收敛 379

一致收敛的判别法 381

一致收敛积分的分析性质 386

习题 392

3Euler积分 393

Beta函数 393

Gamma函数 395

Beta函数与Gamma函数的关系 397

习题 404

第十六章Fourier级数 406

1　函数的Fourier级数展开 406

周期为2π的函数的Fourier展开 407

正弦级数和余弦级数 409

任意周期的函数的Fourier展开 411

习题 413

2　Fourier级数的收敛判别法 415

Dirichlet积分 415

Riemann引理及其推论 416

Fourier级数的收敛判别法 419

习题 425

3　Fourier级数的性质 426

Fourier级数的分析性质 426

Fourier级数的逼近性质 429

等周问题 432

习题 434

4　Fourier变换和Fourier积分 436

Fourier变换及其逆变换 436

Fourier变换的性质 440

卷积 442

习题 444

5　快速Fourier变换 444

离散Fourier变换 444

快速Fourier变换 447

习题 450

计算实习题 450

答案与提示 452

索引 489