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第七章 多元函数微分学 1

第一节　多元函数的基本概念 1

一、区域 1

二、多元函数概念 4

三、多元函数的极限 6

四、多元函数的连续性 9

习题7-1 11

第二节　偏导数 12

一、偏导数 12

二、偏导数的几何意义 15

三、高阶偏导数 16

习题7-2 18

第三节　全微分及其应用 19

一、全微分的概念 19

二、函数可微的条件 20

三、全微分在近似计算中的应用 25

习题7-3 27

第四节　多元复合函数的微分法 28

一、多元复合函数的求导法则 28

二、全微分形式不变性 33

习题7-4 35

第五节　方向导数与梯度 36

一、方向导数 36

二、梯度 39

习题7-5 42

第六节　隐函数的求导公式 43

一、由一个方程所确定的隐函数的求导公式 43

二、由方程组所确定的隐函数的求导公式 45

习题7-6 50

第七节 多元函数微分法的应用 51

一、几何应用 51

二、多元函数的极值与最大值、最小值 56

习题7-7 65

第八节　二元函数的泰勒公式 66

习题7-8 70

第七章总习题 70

第八章 重积分 72

第一节　重积分的概念与性质 72

一、重积分的概念 72

二、二重积分的性质 78

习题8-1 79

第二节　二重积分的计算 81

一、利用直角坐标计算二重积分 81

二、利用极坐标计算二重积分 88

三、二重积分的换元法 93

习题8-2 99

第三节　三重积分的计算 102

一、利用直角坐标计算三重积分 103

二、利用柱面坐标计算三重积分 110

三、利用球面坐标计算三重积分 115

四、三重积分的换元法 120

习题8-3 123

第四节　重积分的应用 125

一、几何应用 125

二、物理应用 130

习题8-4 140

第八章总习题 141

第九章 曲线积分与曲面积分 144

第一节　对弧长的曲线积分 144

一、概念与性质 144

二、计算方法 147

习题9-1 153

第二节　对坐标的曲线积分 153

一、概念与性质 153

二、计算方法 161

习题9-2 166

第三节　对面积的曲面积分 168

一、概念与性质 168

二、计算方法 170

习题9-3 175

第四节　对坐标的曲面积分 176

一、概念与性质 176

二、计算方法 184

习题9-4 192

第五节　格林公式 193

习题9-5 206

第六节　高斯公式　斯托克斯公式 207

一、高斯公式 207

二、斯托克斯公式 214

习题9-6 220

第七节　通量与散度　环量与旋度 222

一、通量与散度 222

二、环量与旋度 229

习题9-7 236

第九章总习题 237

第十章　无穷级数 241

第一节　常数项级数的概念和性质 241

一、常数项级数的概念 241

二、级数的性质 245

习题10-1 248

第二节　常数项级数的收敛判别法 249

一、正项级数及其收敛判别法 249

二、交错级数及其收敛判别法 257

三、任意项级数及其收敛判别法 259

习题10-2 263

第三节　幂级数 264

一、函数项级数的概念 264

二、幂级数及其收敛域 265

三、幂级数的运算与性质 270

习题10-3 273

第四节　函数展开成幂级数 274

一、泰勒（Taylor）级数 274

二、函数展开成幂级数 277

习题10-4 282

第五节　幂级数的应用 283

一、求数项级数的和 283

二、近似计算 284

三、欧拉（Euler）公式 286

习题10-5 287

第六节　傅里叶（Fourier）级数 288

一、三角函数系的正交性 289

二、函数展开成傅里叶级数 290

三、奇、偶函数的傅里叶级数 294

习题10-6 297

第七节 周期为2l的函数的傅里叶级数 298

习题10-7 302

第八节　有限区间上的函数的傅里叶级数 303

习题10-8 307

第十章总习题 307

第十一章 常微分方程 310

第一节　常微分方程的基本概念 310

一、两个实例 310

二、微分方程的基本概念 312

习题11-1 313

第二节　一阶微分方程 314

一、可分离变量微分方程及齐次方程 315

二、一阶线性微分方程及伯努利方程 323

三、全微分方程 331

习题11-2 336

第三节　可降阶的高阶微分方程 339

一、y(n)=f（x,y（k），&，y（n-1））型方程 340

二、y(n)=f（y,y′，&，y（n-1））型方程 342

习题11-3 344

第四节　高阶线性微分方程 345

一、线性微分方程及其解的结构 345

二、常系数齐次线性微分方程 349

三、常系数非齐次线性微分方程 354

习题11-4 359

第五节　欧拉方程 361

习题11-5 364

第六节　微分方程的应用 364

一、一阶微分方程的应用举例 365

二、二阶微分方程的应用举例 372

习题11-6 378

第七节　常系数线性微分方程组求解 379

一、消元法 379

二、特征方程法 381

习题117 384

第十一章总习题 385

习题参考答案与提示 390