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第1章 引论 1

1.1 微分方程的概念和实例 1

1.1.1 导出微分方程的一些实际例子 1

1.1.2 微分方程的概念 3

1.1.3 微分方程的发展 6

习题1.1 8

1.2 解的存在唯一性 9

1.2.1 例子和思路 10

1.2.2 存在唯一性定理及其证明 12

1.2.3 存在唯一性定理的说明及例子 16

习题1.2 20

1.3 一阶微分方程的向量场 22

1.3.1 向量场 22

1.3.2 积分曲线的图解法 26

习题1.3 28

复习题1 28

第2章 一阶微分方程 32

2.1 线性方程 32

2.1.1 线性齐次方程 32

2.1.2 线性非齐次方程 33

2.1.3 Bernoulli方程 36

2.1.4 线性微分方程的应用举例 37

习题2.1 40

2.2 变量可分离的方程 42

2.2.1 变量可分离方程的求解 42

2.2.2 齐次方程 44

2.2.3 变量可分离方程的应用 46

习题2.2 49

2.3 全微分方程 51

2.3.1 全微分方程的定义与充要条件 51

2.3.2 全微分方程的积分 54

2.3.3 积分因子 56

习题2.3 61

2.4 变量替换法 63

2.4.1 形如dy/dx=f（ax+by+c）的方程 63

2.4.2 形如yf(xy)dx+xg(xy)dy=0的方程 64

2.4.3 其他变换举例 65

2.4.4 Riccati方程 67

习题2.4 70

2.5 一阶隐式微分方程 71

2.5.1 可解出y或x的方程与微分法 71

2.5.2 不显含x或y的方程与参数法 75

2.5.3 奇解与包络 78

习题2.5 80

2.6 近似解法 81

2.6.1 逐次迭代法 81

2.6.2 Taylor级数法 83

2.6.3 Euler折线法 85

习题2.6 88

2.7 一阶微分方程的应用 88

2.7.1 曲线族的等角轨线 89

2.7.2 放射性废物的处理问题 91

2.7.3 我国人口的发展预测 92

习题2.7 94

复习题2 95

第3章 二阶及高阶微分方程 99

3.1 可降阶的高阶方程 99

3.1.1 不显含未知函数x的方程 99

3.1.2 不显含自变量t的方程 100

3.1.3 全微分方程和积分因子 101

3.1.4 可降阶的高阶方程的应用举例 102

习题3.1 108

3.2 线性微分方程的基本理论 109

3.2.1 线性微分方程的有关概念 109

3.2.2 齐次线性方程解的性质和结构 111

3.2.3 非齐次线性方程解的结构 117

习题3.2 120

3.3 线性齐次常系数方程 121

3.3.1 复值函数 121

3.3.2 常系数齐次线性方程 123

3.3.3 某些变系数线性齐次微分方程的解法 128

习题3.3 130

3.4 线性非齐次常系数方程的待定系数法 132

3.4.1 非齐次项为多项式的情形 132

3.4.2 非齐次项为多项式与指数函数之积的情形 134

3.4.3 非齐次项为多项式与指数函数、正余弦函数之积的情形 135

习题3.4 138

3.5 高阶微分方程的应用 138

3.5.1 机械振动 138

3.5.2 RLC电路 142

习题3.5 145

复习题3 146

第4章 微分方程组 148

4.1 微分方程组的概念 148

4.1.1 微分方程组的实例及有关概念 148

4.1.2 函数向量和函数矩阵 152

4.1.3 微分方程组解的存在唯一性定理 156

习题4.1 158

4.2 微分方程组的消元法和首次积分法 160

4.2.1 微分方程组的消元法 160

4.2.2 微分算子与线性微分方程组 162

4.2.3 微分方程组的首次积分法 164

习题4.2 167

4.3 线性微分方程组的基本理论 168

4.3.1 线性齐次方程组解的结构 168

4.3.2 非齐次线性微分方程组解的结构 176

习题4.3 179

4.4 常系数齐次线性微分方程组 180

4.4.1 系数矩阵A有单特征根时的解 180

4.4.2 系数矩阵A具有重特征根时的解 185

4.4.3 矩阵指数函数的定义和性质 192

习题4.4 198

4.5 常系数非齐次线性微分方程组 199

4.5.1 常数变易法 199

4.5.2 线性变换法 201

4.5.3 待定系数法 203

习题4.5 207

4.6 微分方程组应用举例 208

4.6.1 两个弹簧和物体的竖直运动 209

4.6.2 复杂电路的计算 210

4.6.3 人造卫星的轨道方程 211

习题4.6 216

复习题4 217

第5章 非线性微分方程组 221

5.1 非线性方程研究的例子与概念 221

5.1.1 例子 221

5.1.2 自治微分方程与非自治微分方程、动力系统 223

5.1.3 基本定义 225

习题5.1 231

5.2 自治微分方程组解的性质 231

5.2.1 自治系统轨线的特点 232

5.2.2 自治系统解的基本性质 234

习题5.2 237

5.3 平面线性系统的奇点及相图 238

5.3.1 几个线性系统的计算机相图 239

5.3.2 平面线性系统的初等奇点 242

习题5.3 248

5.4 几乎线性系统解的稳定性 250

5.4.1 平面几乎线性系统的稳定性 250

5.4.2 高维几乎线性微分方程组的稳定性 257

习题5.4 260

5.5 Lyapunov第二方法 262

5.5.1 定号函数 262

5.5.2 稳定性基本定理 263

5.5.3 稳定性定理的几何意义 267

5.5.4 二次型形式的V函数 267

习题5.5 268

5.6 二维自治微分方程组的周期解和极限环 270

5.6.1 周期解与极限环 270

5.6.2 极限环的存在性 273

5.6.3 极限环的不存在性 274

5.6.4 极限环的稳定性 275

习题5.6 276

复习题5 276

第6章 Maple简介与应用 279

6.1 Maple的基本功能 279

6.1.1 Maple的工作环境 279

6.1.2 Maple的基本运算 280

6.1.3 多项式 282

6.1.4 转换为其他语言 282

6.2 微积分运算 283

6.2.1 极限和连续 284

6.2.2 导数和极值 284

6.2.3 积分 285

6.2.4 级数和积分变换 286

6.3 线性代数 287

6.3.1 矩阵的建立和基本运算 287

6.3.2 矩阵的初等变换和线性方程组求解 288

6.3.3 矩阵的特征值、特征向量和相似 290

6.4 图形 291

6.4.1 二维图形 291

6.4.2 三维绘图 293

6.4.3 动画 295

6.5 方程求解 297

6.5.1 代数方程 297

6.5.2 常微分方程求解 298

6.5.3 微分方程的向量场 301

6.6 Maple编程 302

6.6.1 子程序 302

6.6.2 几种常用的程序结构 303

6.6.3 Maple在微分方程中的应用举例 304

参考文献 308