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第1章　观察、归纳与猜想 1

1.1　归纳法帮你猜想命题结论 2

1.2　归纳法帮你猜想解题思路 6

1.3　两个著名的反例 11

第2章　数学归纳法 15

2.1　数学归纳法的基本形式 16

2.2　数学归纳法的应用技巧 22

第3章　枚举与筛选 32

第4章　整数的表示方法 45

4.1　整数的十进制表示 45

4.2　整数的m进制表示 47

4.3　整数的带余除式表示 52

4.4　整数的唯一分解表示 54

4.5　整数的2mq型的表示 56

第5章　逻辑类分法 60

第6章　从整体上看问题 72

第7章　化归 83

7.1　直接化归 84

7.2　化归 86

7.3　合理规划　拾级而上 88

7.4　立体问题化归为平面问题 93

第8章　退中求进 98

8.1　投石问路 98

8.2　退—变—进 103

第9章　类比与猜想 110

9.1　高维与低维的类比 112

9.2　一般与特殊的类比 115

9.3　结构相似的类比 117

9.4　类比的危险 120

第10章　反证法 123

10.1　什么是反证法 123

10.2　正确作出假设 126

10.3　反证法常用场合 127

第11章　构造法 135

11.1　直接构造 135

11.2　间接构造 141

11.3　构造法与反证法联用 143

第12章　极端原理 147

12.1　极端原理 147

12.2　重要依据——最小数原理 149

12.3　“极端原理”＋“构造法” 151

12.4　“极端原理”＋“反证法” 153

12.5　探幽觅径 155

第13章　局部调整法 159

13.1　一种重要的解题策略 159

13.2　平均值不等式的一种巧妙证明 160

13.3　重复调整的前提不容忽视 162

13.4　局部调整　分段逼进 164

13.5　等周问题 168

13.6　实际应用举例 171

第14章　夹逼 175

第15章　数形结合 187

15.1　代数问题的几何解法 187

15.2　几何问题的代数解法 194

第16章　复数与向量 201

16.1　用复数或向量解几何题 201

16.2　用向量证明不等式 211

第17章　变量代换法 218

第18章　奇偶分析 230

第19章　算两次 247

第20章　对应与配对 256

20.1　对应原理 256

20.2　配对策略 264

第21章　递推方法 270

第22章　抽屉原理 283

第23章　染色和赋值 297

23.1　染色法 297

23.2　赋值法 302

第24章　不变量原理 310

24.1　不变量——奇偶性 311

24.2　不变量——余数 313

24.3　染色 315

24.4　半不变量——单调变化的量 316

第25章　问题的引入与背景 320

25.1　背景1——斐波那契恒等式 321

25.2　背景2——从一道莫斯科数学奥林匹克不等式谈起 328

25.3　背景3——Schur不等式 340