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第8章　多元函数微分法及其应用 1

8.1　多元函数的基本概念 1

8.1.1 平面点集 1

8.1.2　二元函数的定义 3

8.1.3　n维空间与n元函数 4

习题8-1 5

8.2　二元函数的极限与连续 5

8.2.1　二元函数的极限 5

8.2.2 多元函数的连续性 8

习题8-2 10

8.3　偏导数 11

8.3.1　偏导数的定义与计算 11

8.3.2　高阶偏导数 15

习题8 3 16

8.4　全微分及其应用 17

8.4.1　全微分的定义 17

8.4.2　函数可微的必要与充分条件 19

8.4.3　微分在近似计算中的应用 22

习题8-4 23

8.5　多元复合函数的求导法则 24

8.5.1　链式法则 24

8.5.2　全微分形式的不变性 30

习题8-5 31

8.6　隐函数求导法 32

8.6.1 由一个方程确定的隐函数的求导 32

8.6.2　方程组的情形 35

习题8-6 38

8.7　微分法在几何上的应用 39

8.7.1 空间曲线的切线与法平面 39

8.7.2 曲面的切平面与法线 44

习题8-7 47

8.8　方向导数与梯度 47

8.8.1　方向导数 47

8.8.2　梯度 50

习题8-8 53

8.9　多元函数的极值及求法 54

8.9.1　无条件极值 54

8.9.2　最大值和最小值 57

8.9.3　条件极值 58

习题8-9 62

8.10 二元函数的泰勒公式 62

8.10.1　二元函数的泰勒公式 62

8.10.2　极值充分条件Ⅰ的证明 65

习题8-10 67

第9章　重积分 68

9.1　二重积分的概念与性质 68

9.1.1　二重积分的概念 68

9.1.2　二重积分的性质 71

习题9-1 73

9.2　二重积分的计算 74

9.2.1 直角坐标系下二重积分的计算 74

习题9-2（1） 80

9.2.2　极坐标系下二重积分的计算 81

习题9-2（2） 84

9.3　三重积分的概念与计算 86

9.3.1　三重积分的概念与性质 86

9.3.2　直角坐标系下三重积分的计算 87

习题9-3 92

9.4　利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 93

9.4.1　利用柱面坐标计算三重积分 93

9.4.2　利用球面坐标计算三重积分 95

习题9-4 98

9.5　重积分的应用 99

9.5.1　空间几何体的体积 99

9.5.2　空间曲面的面积 100

9.5.3 平面薄片与空间立体的重心 103

9.5.4　平面薄片与空间立体的转动惯量 105

9.5.5　平面薄片与空间立体对质点的引力 106

习题9-5 108

第10章 曲线积分与曲面积分 110

10.1　对弧长的曲线积分 110

10.1.1　概念与性质 110

10.1.2　对弧长的曲线积分的计算方法 112

习题10-1 116

10.2　对坐标的曲线积分 117

10.2.1　概念与性质 117

10.2.2　对坐标的曲线积分的计算方法 120

习题10-2 124

10.3　格林公式及其应用 125

10.3.1　格林公式 126

10.3.2　平面上曲线积分与路径无关的条件 131

10.3.3　二元函数的全微分求积 135

习题10-3 138

10.4　对面积的曲面积分 139

10.4.1　概念与性质 140

10.4.2 对面积的曲面积分的计算方法 141

习题10-4 144

10.5　对坐标的曲面积分 145

10.5.1　概念与性质 146

10.5.2 对坐标的曲面积分的计算方法 149

习题10-5 153

10.6　高斯公式及其应用 154

10.6.1 高斯公式及其应用 154

10.6.2　通量与散度 157

习题10-6 158

10.7　斯托克斯公式及其应用 159

10.7.1　斯托克斯公式 160

10.7.2　环流量与旋度 163

习题10-7 164

第11章　无穷级数 166

11.1　常数项级数的概念与性质 166

11.1.1　常数项级数的概念 166

11.1.2　收敛级数的性质 168

11.1.3　级数收敛的必要条件 169

习题11-1 170

11.2　常数项级数的审敛法 170

11.2.1　正项级数及其审敛法 170

11.2.2　交错级数及其审敛法 175

11.2.3　绝对收敛与条件收敛 176

习题11-2 178

11.3　幂级数 180

11.3.1 函数项级数的概念 180

11.3.2　幂级数及其收敛性 181

11.3.3　幂级数的运算 184

习题11-3 187

11.4　函数展成幂级数及其应用 188

11.4.1　泰勒级数 188

11.4.2　函数展成幂级数 190

11.4.3 函数的幂级数展开式的应用 193

习题11-4 196

11.5　傅立叶级数 197

11.5.1 三角级数与三角函数系的正交性 197

11.5.2　函数展成傅立叶级数 197

11.5.3　周期延拓 201

习题11-5 202

11.6　正弦级数和余弦级数 203

习题11-6 204

11.7　周期为2l的周期函数的傅立叶级数 205

习题11-7 207

第12章　微分方程 208

12.1　基本概念 208

习题12-1 212

12.2　可分离变量的微分方程 213

习题12-2 216

12.3　齐次微分方程 217

12.3.1 齐次微分方程的基本形式 217

12.3.2 齐次微分方程的求解方法 218

习题12-3 221

12.4　一阶线性微分方程 222

12.4.1　一阶线性微分方程 222

12.4.2　伯努利方程 224

习题12-4 226

12.5　全微分方程 226

习题12-5 229

12.6　可降阶的高阶微分方程 230

12.6.1 y（n）=f（x）型方程 230

12.6.2 y″=f（x,y′）型方程 230

12.6.3 y″=f（y,y′）型方程 231

习题12-6 233

12.7　高阶线性微分方程 234

12.7.1　二阶齐次线性方程解的性质与通解结构 234

12.7.2　二阶非齐次线性方程解的性质与通解结构 235

12.8　二阶常系数齐次线性微分方程 236

习题12-8 240

12.9　常系数非齐次线性方程 241

12.9.1 f（x）=eλxPm（x）型（Pm（x）为m次多项式） 241

12.9.2 f（x）=Pm（x）eλxcoswx或Pm（x）eλxsinwx型 245

习题12-9 246

12.10 欧拉方程 247

习题12-10 249

12.11　微分方程的幂级数解法 251

习题12-11 255

习题解答与提示 256

参考文献 285