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第一章 绪论 1

1.1数值分析的任务 1

1.2误差基础知识 2

1.2.1误差的来源 2

1.2.2误差与有效数字 4

1.2.3数值运算的误差估计 8

1.3误差定性分析及数值运算中的若干原则 9

1.3.1病态问题与条件数 9

1.3.2算法的数值稳定性 11

1.3.3数值运算中的若干原则 13

评注 15

应用：Koch分形曲线的生成 16

习题 18

数值实验题 19

第二章 非线性方程求根 20

2.1概述 20

2.2二分法 21

2.3不动点迭代的基本理论 24

2.3.1不动点迭代 24

2.3.2不动点迭代的全局收敛性 28

2.3.3不动点迭代的局部收敛性与收敛阶 32

2.3.4不动点迭代的加速 35

2.4 Newton迭代 39

2.4.1 Newton迭代及其几何意义 39

2.4.2 Newton迭代的收敛性 40

2.5 Newton迭代的变形 46

2.5.1求重根的修正Newton法 46

2.5.2 Newton下山法 48

2.5.3弦割法 50

评注 52

应用：空中电缆（缆绳）长度的计算 53

习题 55

数值实验题 56

第三章 解线性代数方程组的直接法 58

3.1 Gauss消元法 59

3.1.1 Gauss顺序消元法 59

3.1.2 Gauss主元素消元法 62

3.2矩阵三角分解法 63

3.2.1直接三角分解法 64

3.2.2列主元三角分解法 68

3.2.3平方根法 71

3.2.4追赶法 74

3.3方程组的性态与误差分析 75

3.3.1向量和矩阵的范数 75

3.3.2方程组的性态与矩阵条件数 80

3.3.3病态方程组的求解 82

评注 83

应用：生产计划的安排 84

习题 85

数值实验题 86

第四章 解线性代数方程组的迭代法 88

4.1向量序列和矩阵序列的极限 88

4.2迭代法的基本理论 90

4.2.1简单迭代及其收敛性 91

4.2.2 Gauss-Seidel迭代及其收敛性 93

4.3几种常用的迭代法 95

4.3.1 Jacobi迭代 95

4.3.2基于Jacobi迭代的Gauss-Seidel迭代 97

4.3.3逐次超松弛迭代 98

评注 102

应用：薄板的热传导 102

习题 103

数值实验题 104

第五章 函数插值 106

5.1插值问题与插值多项式 106

5.1.1插值问题 106

5.1.2插值多项式 106

5.2 Lagrange插值 108

5.2.1 Lagrange插值基函数 108

5.2.2 Lagrange插值公式 109

5.3 Newton插值 111

5.3.1差商及其性质 111

5.3.2 Newton插值公式 112

5.4等距节点插值 113

5.4.1差分算子及其性质 113

5.4.2等距节点插值公式 115

5.5 Hermite插值 117

5.5.1 Hermite插值多项式的构造 117

5.5.2 Hermite插值多项式的存在唯一性以及插值余项 119

5.5.3带不完全导数的Hermite插值多项式举例 119

5.6分段低次插值 120

5.6.1高次插值评述 120

5.6.2分段插值 122

5.7三次样条插值 123

5.7.1样条插值函数的定义 123

5.7.2三次样条插值函数的构造 124

5.7.3三次样条插值函数的收敛性 128

评注 128

应用：机翼曲线绘制 129

习题 130

数值实验题 131

第六章 函数的最佳平方逼近与数据的最小二乘拟合 133

6.1预备知识 133

6.1.1赋范线性空间与内积空间 133

6.1.2正交多项式系 136

6.2连续函数的最佳平方逼近 144

6.2.1最佳平方逼近问题的求解 144

6.2.2基于正交函数基的最佳平方逼近 148

6.3离散数据的曲线拟合 150

6.3.1数据拟合模型及其求解 150

6.3.2离散Gram矩阵的讨论 152

6.3.3用关于点集的正交函数系作最小二乘曲线拟合 156

评注 158

应用：钢包侵蚀预测 158

习题 161

数值实验题 162

第七章 数值积分与数值微分 163

7.1数值积分的基本概念 163

7.1.1数值求积公式的代数精度 163

7.1.2求积公式的收敛性与稳定性 164

7.2插值型求积公式 165

7.2.1插值型求积公式 165

7.2.2 Newton-Cotes求积公式 166

7.2.3几种低阶求积公式的截断误差 168

7.3复化求积算法 169

7.3.1复化求积算法 169

7.3.2误差的后验近似估计 171

7.4 Romberg求积算法 173

7.4.1 Romberg求积算法 173

7.4.2外推技巧 175

7.5 Gauss型求积公式 176

7.5.1 Gauss型求积公式的一般理论 176

7.5.2几种常见的Gauss型求积公式 179

7.6数值微分 182

7.6.1插值型求导公式 182

7.6.2 Taylor级数展开法 183

评注 184

应用：估计水塔的水流量 185

习题 187

数值实验题 187

第八章 常微分方程初值问题的数值解法 189

8.1引言 189

8.1.1问题及基本假设 189

8.1.2离散化方法 190

8.2几种简单的单步法 190

8.2.1显式Euler公式 190

8.2.2隐式Euler公式 192

8.2.3梯形公式 194

8.2.4 Euler预测校正公式 195

8.2.5单步法的局部截断误差和阶 196

8.3 Runge-Kutta方法 198

8.3.1 Taylor级数展开法 198

8.3.2 Runge-Kutta方法 200

8.4单步法的收敛性、相容性与稳定性 205

8.4.1收敛性 205

8.4.2相容性 206

8.4.3稳定性 207

8.5线性多步法 210

8.5.1线性多步法的一般公式 210

8.5.2构造线性多步公式的数值积分法 211

8.5.3构造线性多步公式的Taylor级数展开法 213

评注 216

应用：人口增长问题 217

习题 219

数值实验题 220

第九章 矩阵特征值与特征向量的计算 221

9.1乘幂法与反幂法 221

9.1.1乘幂法 221

9.1.2反幂法 226

9.2 Jacobi方法 227

9.2.1 Jacobi方法 228

9.2.2 Jacobi方法的变形 234

9.3 Givens变换与Householder变换 234

9.3.1 Givens矩阵与Householder矩阵 234

9.3.2实对称矩阵的三对角化 239

9.4实对称三对角矩阵特征值计算的二分法 243

9.4.1特征值计算的二分法 244

9.4.2特征向量的计算 249

9.5 QR算法 250

9.5.1矩阵的QR分解 250

9.5.2 QR算法及其收敛性 252

9.5.3带原点平移的QR算法 257

评注 257

应用：弹簧-重物系统的频率计算 258

习题 259

数值实验题 260

习题答案 262

参考文献 268