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第1章　KAM理论与Arnold扩散 1

1.1　绪论 3

1.1.1　辛流形和Hamilton系统 3

1.1.2 完全可积与近可积系统 5

1.1.3　摄动方法——平均法 7

1.2 KAM定理 8

1.2.1 经典的KAM定理 8

1.2.2　低维KAM定理 13

1.2.3 共振情形下的KAM定理 17

1.2.4　广义Hamilton系统的KAM定理 23

1.2.5　广义Hamilton系统的有效稳定性 26

1.3　Arnold扩散与不稳定性 28

1.3.1 引言 28

1.3.2　正定Lagrange系统的变分框架 31

1.3.3　局部连接轨道的存在性 33

1.3.4　全局连接轨道的变分构造 36

1.3.5　通有性证明 39

1.4　轨道扩散与不变环面的粘滞性 42

1.4.1　轨道扩散 42

1.4.2 不变环面的粘滞性 45

参考文献 48

第2章 孤立子与可积系统 57

2.1　概述 59

2.1.1　孤波与孤子 59

2.1.2　可积系统 59

2.2　有限维可积系统 60

2.3　Schr？dinger方程的反散射理论 64

2.3.1　概述 64

2.3.2　Jost解 65

2.3.3　基本散射公式 66

2.3.4　散射数据 67

2.3.5 Gelfand-Levitan-Mrachenko方程 70

2.3.6　无反射位势 72

2.3.7　Bargmann系统 74

2.3.8　反射系数不为零的情形 75

2.4　KdV方程的孤子解 76

2.4.1 KdV方程 76

2.4.2　GGKM演化定理 77

2.4.3　初值问题的反散射解法 81

2.4.4　双孤子的相互作用 82

2.4.5 N孤子解 83

2.5　KdV方程的完全可积性 87

2.5.1　无穷守恒律 87

2.5.2　Zakharov-Faddeev迹公式 89

2.5.3　广义Hamilton正则方程与完全可积性 93

2.6　各种孤子方程及解法简述 96

2.6.1　Lax方程与零曲率方程 96

2.6.2 N带势解 98

2.6.3　其他重要方法举例 99

2.7　有限带解 100

2.7.1　基本恒等式 101

2.7.2　KdV方程族与Lenart序列 102

2.7.3　特征值问题的非线性化 103

2.7.4 守恒积分的对合性 106

2.7.5　KdV方程族的分解 107

2.7.6 守恒积分的函数独立性 109

2.7.7　Hk流的拉直 113

2.7.8　反演、概周期解 116

2.8　孤立子实验 117

2.8.1 非传播水波孤立子 117

2.8.2 离散系统中的孤立子 121

2.9　孤立子方程的建立 123

2.9.1　非传播水波孤立子方程 124

2.9.2　一维非线性单摆链系统中包络孤立子方程 128

2.10　孤立子和缺陷的相互作用 131

2.10.1 理论和数值研究 131

2.10.2 实验观察 134

参考文献 141

第3章　分形几何——它的内容、意义和方法 147

3.1 引言 149

3.2　分形的特征 150

3.2.1 光滑函数的图像分析 150

3.2.2 von Koch曲线（雪花曲线） 151

3.3　测度与维数 155

3.3.1　尺度的临界性质 155

3.3.2　测量方式 157

3.3.3 雪花曲线的情形 157

3.4　两种测量方式：覆盖与填充 158

3.4.1 Hausdorff测度与Hausdorff维数 158

3.4.2 Hausdorff测度与Hausdorff维数的基本性质 159

3.4.3 维数的几何意义 159

3.4.4　填充测度与填充维数 160

3.4.5 两种测度与维数的比较 161

3.4.6 两点注记 162

3.5　其他测度与维数 163

3.5.1　拓扑维数 163

3.5.2　Minkowski容度与Minkowski维数 164

3.5.3　相似维数 167

3.5.4　容量维数 167

3.5.5　测度的维数 168

3.5.6　Fourier维数 168

3.5.7 Besicovitch-Taylor维数 169

3.6　进一步的讨论 170

3.6.1 广义自相似集 170

3.6.2　分形的定义 173

3.6.3 随机的作用与分形模型 176

3.6.4　有效维数与物理意义 181

3.6.5　标度律与分形 182

3.7　进一步阅读材料 183

参考文献 183

第4章 斑图演化的动力学 185

4.1 引言 187

4.2　混沌：初值敏感性 188

4.3　斑图动力学 193

4.4　固体损伤破坏斑图的动力学复杂性 197

4.5　损伤斑图演化的跨尺度耦合理论 202

4.5.1 基于细观损伤表象的统计细观损伤力学 203

4.5.2　基于细观物质单元表象的统计细观损伤力学 206

4.6　损伤局部化——损伤斑图向损伤局部化斑图转变 208

4.7　损伤演化诱致灾变——损伤斑图向灾变性破坏转变 215

4.7.1 驱动非线性阈值模型的一般描述 215

4.7.2　载荷控制的准静态单调加载过程 217

4.7.3 准静态单调加载下损伤演化和灾变中的能量转化 219

4.7.4 位移控制的准静态单调加载过程 220

4.7.5 位移控制的复合系统的准静态单调加载过程 221

4.7.6　损伤演化诱致灾变的复杂性 225

4.8　临界敏感性——损伤斑图向灾变性破坏转变的共性 228

4.9　不是结束语 237

参考文献 238

第5章　动力系统——从有限维到无穷维 243

5.1 引言 245

5.2　零解的渐近稳定性 246

5.3　精确能控性 250

5.4　无限维KAM理论与偏微分方程的拟周期解 256

参考文献 263

第6章 符号序列的复杂性分析 269

6.1 符号序列的数学 271

6.1.1 自由么半群 271

6.1.2 字的自交迭结构 274

6.1.3 符号序列集合——形式语言 276

6.1.4 禁止字方法 279

6.2　一维离散动力系统中的符号序列 281

6.2.1 符号动力学的起源与Thue-Morse序列 281

6.2.2　混沌的诞生 284

6.2.3 实用符号动力学与单峰映射 287

6.2.4 单峰映射的符号动力学 291

6.2.5 单峰映射的语法复杂性 301

6.3　元胞自动机中的符号序列 306

6.3.1 什么是元胞自动机 306

6.3.2 关于元胞自动机的一些基本结果 308

6.3.3　元胞自动机的极限复杂性 312

6.3.4　元胞自动机的演化复杂性 317

6.4　生物学中的符号序列 321

6.4.1 数学与生物学的联姻 321

6.4.2 子串的计数问题 324

6.4.3　组分分析方法 328

6.4.4 隐马尔可夫模型与寻找基因 333

参考文献 339

第7章　可微动力系统遍历理论基础 345

7.1　遍历理论简介 347

7.1.1 不变测度、遍历性 347

7.1.2　Lyapunov指数、不变流形 355

7.1.3 熵 359

7.1.4　Sinai-Ruelle-Bowen测度 365

7.2　动力系统的随机扰动 375

7.2.1 动力系统的Markov链扰动 375

7.2.2　动力系统的随机映射扰动 379

参考文献 384

第8章 非平衡定态、随机共振和分子马达 389

8.1　非平衡定态简介 391

8.1.1 微观态、宏观态和亚宏观态 391

8.1.2 亚宏观系统的平衡态性质 392

8.1.3 亚宏观系统的Q-过程描述 397

8.1.4 圆周上的扩散过程 416

8.2 随机共振 430

8.2.1　随机共振简介 430

8.2.2 双稳态系统的随机共振 433

8.2.3　单稳态系统的随机共振 441

8.2.4　耦合系统的随机共振 453

8.3　分子马达 463

8.3.1 分子马达简介 463

8.3.2　布朗马达的输运速度、概率流和旋转数 465

8.3.3 布朗马达的定向输运机制——对称破缺的动力学解释 475

8.3.4　耦合扩散过程的定向输运问题 484

8.3.5　马达的效率 486

参考文献 497