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第一章 Γ-函数和B-函数 1

1 Γ-函数及其基本性质 1

1.1 含复参变量广义积分确定的函数的解析性 1

1.2 Γ-函数的定义及其解析性 2

1.3 Γ-函数的解析延拓 2

1.4 Γ-函数的基本公式 4

1.5 Γ-函数的对数导数 7

1.6 Γ-函数的渐近公式 8

2 B-函数 9

2.1 B-函数的定义 9

2.2 B-函数与Γ-函数的联系 10

第二章 勒让德多项式及其应用 12

1 幂级数解法 12

1.1 解析点附近解的存在性与唯一性定理 12

1.2 幂级数解法 12

1.3 勒让德方程的有界解 13

2 勒让德多项式的引入 21

2.1 本征值问题的提出 21

2.2 本征值问题的解 23

2.3 Pi（x）的微分表达式与积分表达式 25

3 勒让德多项式的基本性质 28

3.1 Pi（x）的母函数 28

3.2 Pi（x）的递推公式 31

3.3 Pi（x）的正交性与模 34

3.4 按勒让德多项式展开的收敛定理 36

4 关于勒让德多项式的应用 45

4.1 模型问题的解 45

4.2 均匀场中介质球的电场 46

4.3 点电荷影响下介质球的电场 49

第三章 球函数及其应用 55

1 连带（缔合）勒让德函数 55

1.1 连带勒让德函数的引入 56

1.2 连带勒让德函数的正交性和模 59

1.3 按连带勒让德函数展开的收敛定理 62

2 球函数 64

2.1 球函数的引入 64

2.2 球函数的正交性和模 66

2.3 关于球函数的展开定理 70

2.4 加法公式 74

3 球函数的应用 81

3.1 球内第一边值问题的解 81

3.2 球内第二边值问题的解 83

3.3 加法公式的应用 85

第四章 贝塞尔函数及其应用 89

1 第一类贝塞尔函数 89

1.1 正则奇点附近解的结构定理 89

1.2 第一类贝塞尔函数 90

2 第二类贝塞尔函数 99

2.1 级数型的第二类贝塞尔函数 99

2.2 按不定型引进的第二类贝塞尔函数 107

3 第一、二类贝塞尔函数的基本性质 115

3.1 递推公式 115

3.2 母函数与加法公式 117

3.3 积分表达式和渐近表达式 120

3.4 零点的分布 123

3.5 正交性、模与展开定理 127

4 关于贝塞尔函数的应用 133

4.1 圆膜振动问题的解 133

4.2 具轴对称的圆膜振动问题的解 138

4.3 一个引理 139

4.4 圆域上热传导的第二边值问题 141

第五章 常微分方程的本征值问题 147

1 广义傅立叶级数 147

1.1 正交、归一化系 147

1.2 施密特正交化方法 149

1.3 广义傅立叶级数和收敛的概念 151

1.4 完全系（统）的概念及其判别 153

2 本征值问题中的名称和概念 155

2.1 斯特姆-刘维尔型方程 155

2.2 斯特姆-刘维尔型问题 156

2.3 奇异的斯特姆-刘维尔问题 157

2.4 周期的斯特姆-刘维尔问题 158

3 关于斯特姆-刘维尔问题的结论 158

3.1 本征函数的性质 158

3.2 本征值和本征展开 161

第六章 厄密多项式和拉革尔多项式 163

1 厄密多项式 163

1.1 本征值问题 163

1.2 厄密方程的解 164

1.3 本征值问题的解 166

1.4 厄密多项式 167

1.5 母函数与微分表达式 168

1.6 正交性、模与展开定理 171

2 拉革尔多项式 175

2.1 拉革尔多项式的引入 176

2.2 母函数与微分表达式 178

2.3 正交性、模与展开定理 181

3 广义拉革尔多项式 182

3.1 奇异S-L问题（3.1）-（3.2）的解 182

3.2 母函数与微分表达式 185

3.3 递推公式 186

3.4 正交性、模与展开定理 190

第七章 附录 195

1 带复参量的积分 195

1.1 有穷限的带复参变量的积分 195

1.2 无穷限的带复参变量的积分 197

2 解析点附近解的结构定理 201

2.1 基本引理 201

2.2 解析点附近解的结构定理 207

3 第二章极限式（1.26）的证明 207

3.1 极限lim k→∞Ik=A＞0的证明 207

3.2 极限lim k→∞Jk=p＞0的证明 210

4 正则奇点附近解的结构定理 211

5 其它类型的贝塞尔函数 221

5.1 汉克尔函数H（1）v（z）、H（2）v（z） 221

5.2 虚宗量贝塞尔函数Iv（z）和Kv（z） 222

5.3 球贝塞尔函数 226

6 斯特姆-刘维尔问题的结果及其证明 229

6.1 用泛函等式描述的本征函数的性质 230

6.2 极值函数与本征函数 231

6.3 求一般本征值的库朗定理 235

6.4 本征值的比较定理 238

6.5 S-L问题的结果及其证明 241

答案与提示 249