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第1部分 数学物理方程 3

第1章 方程的导出和定解条件 3

1.1概念 3

1.1.1有关数学物理方程的一些概念 3

1.1.2定解条件和定解问题 4

1.1.3解的适定性 6

1.1.4数学物理方程研究的内容 6

1.2三类方程的导出及定解问题的提法 6

1.2.1热传导方程及其定解问题 6

1.2.2波动方程及其定解问题 9

1.2.3位势方程及其定解问题 11

1.3预备知识 12

1.3.1有关常微分方程中的一些知识 12

1.3.2线性方程解的叠加原理 12

1.3.3二阶线性常微分方程的常数变异法 13

1.3.4二阶线性齐次常微分方程的幂级数解法 13

1.4小结 14

1.4.1基本概念 14

1.4.2定解问题 14

1.4.3主要数学家介绍 15

1.5习题 16

第2章 行波法（达朗贝尔法） 18

2.1一维波动问题 18

2.1.1 Duhamel原理 18

2.1.2无界弦的自由振动（一维波动方程的柯西问题） 19

2.1.3半无界弦的自由振动 20

2.1.4无界弦的强迫振动 21

2.2高维波动问题 22

2.2.1空间齐次波动问题 22

2.2.2二维波动方程的初值问题（降维法） 24

2.3小结 26

2.4习题 26

第3章 分离变量法 28

3.1引言 28

3.2直角坐标系下齐次方程齐次边界条件问题 29

3.2.1一维弦的自由振动问题 29

3.2.2一维细杆的热传导问题 31

3.2.3矩形域上拉普拉斯方程的边值问题 33

3.3直角坐标系下非齐次方程齐次边界条件问题 34

3.3.1引言 34

3.3.2问题模型 34

3.3.3求解方法 34

3.4直角坐标系下齐次方程非齐次边界条件问题 35

3.4.1引言 35

3.4.2求解方法 35

3.4.3例题解析 36

3.5极坐标系下的分离变量法 37

3.5.1引言 37

3.5.2问题模型 37

3.5.3求解方法 38

3.5.4例题解析 39

3.6球坐标系下拉普拉斯方程的求解问题 39

3.6.1勒让德方程的引出 39

3.6.2勒让德方程的求解及勒让德函数的性质 41

3.6.3勒让德函数及性质的应用——例题解析 42

3.7柱坐标系下拉普拉斯方程的求解问题 43

3.7.1贝塞尔方程的引出 43

3.7.2贝塞尔方程的解及贝塞尔函数的性质 44

3.7.3贝塞尔函数的应用——例题解析 46

3.8小结 47

3.9习题 49

第4章 积分变换法 51

4.1引言 51

4.2傅里叶变换及应用 52

4.2.1傅里叶变换的定义 52

4.2.2傅里叶变换的性质 52

4.2.3使用傅里叶变换时应注意的问题 53

4.2.4傅里叶变换在定解问题中的应用——例题解析 53

4.3拉普拉斯变换及应用 55

4.3.1拉普拉斯变换的概念 55

4.3.2拉普拉斯变换的性质 55

4.3.3拉普拉斯变换性质的简单应用——例题解析 56

4.3.4拉普拉斯变换在定解问题中的应用——例题解析 57

4.4小结 58

4.5习题 59

第5章 格林函数法 60

5.1调和函数及性质 60

5.1.1格林公式 60

5.1.2调和函数及其积分表达式 61

5.1.3调和函数的性质 62

5.2格林函数及应用 63

5.2.1格林函数的定义 63

5.2.2格林函数的求法和边值问题的解 64

5.3小结 66

5.4习题 66

第6章 变分法初步 68

6.1变分问题的引出及最简变分问题的解法 68

6.1.1变分法的基本引理 68

6.1.2泛函取极值的必要条件 69

6.1.3例题验证 69

6.2变分法的应用——例题解析 69

6.3极小曲面问题研究状况综述 72

6.3.1极小曲面的概念 72

6.3.2有关极小曲面问题 72

6.4小结 77

6.5习题 77

部分习题参考答案 79

参考文献 82

第2部分 数学物理方程反问题研究 87

有关数学物理方程的反问题 87

热传导方程反问题的存在性（一） 92

热传导方程反问题的存在性（二） 99

一类抛物型方程的反问题 104

非线性热传导方程的反问题 113

热传导方程的反问题 120

一类双曲方程反问题的存在性及唯一性 125