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第1篇 微积分 1

第1章 函数、极限和连续 1

1.1 函数 1

一、函数的基本概念 1

二、函数的基本性质 4

三、反函数、隐函数和复合函数 7

四、分段函数 10

五、初等函数 10

1.2 极限 12

一、数列的极限 12

二、函数的极限 15

三、无穷小、无穷大和无穷小量阶的比较 21

1.3 函数的连续性与间断点 24

一、函数的连续性 24

二、间断点 26

三、闭区间上连续函数的性质 27

习题一 29

第2章 导数与微分 33

2.1 导数与微分 33

一、基本概念、性质和定理 33

二、导数公式和运算法则 36

三、反函数、复合函数和隐函数的导数法则 37

四、微分 38

五、高阶导数 39

2.2 各种函数的导数的解法 41

一、求幂指函数的导数 41

二、求函数表达式为若干因子连乘积或商形式的函数的导数或微分 42

三、分段函数的导数 42

2.3 重要结论 43

习题二 44

第3章 微分中值定理和导数的应用 47

3.1 微分中值定理 47

一、罗尔定理 47

二、拉格朗日中值定理和柯西中值定理 50

三、泰勒定理 53

3.2 洛必达法则 54

一、0/0未定式 54

二、∞／∞型未定式 55

三、其他未定式∞－∞，0·∞，1∞，∞0，00的计算 56

3.3 导数的应用 57

一、过定点的曲线的切线和法线方程 57

二、函数单调性的判别 58

三、函数的极值和最值 59

四、曲线的凹凸性和拐点 61

五、曲线的渐近线 62

六、函数作图及函数图形与其导函数图形的关系 63

习题三 65

第4章 不定积分 68

4.1 不定积分的基本概念和性质 68

一、原函数和不定积分的概念 68

二、基本积分公式 70

三、不定积分的基本运算法则 71

4.2 不定积分的计算方法 72

一、不定积分的换元积分法 72

二、不定积分的分部积分法 76

4.3 各种函数的不定积分 78

一、有理函数的积分 78

二、三角函数有理式？R(sinx,cosx)dx的积分 79

三、含无理式的不定积分 82

四、分段函数的不定积分 83

五、复合函数的不定积分 84

习题四 85

第5章 定积分和反常积分 88

5.1 定积分的概念和性质 88

一、定积分的概念 88

二、定积分的性质 89

5.2 定积分的计算 92

一、微积分基本公式 92

二、定积分的换元法和分部积分法 94

三、定积分计算中的常用公式 96

四、分段函数的定积分 98

五、杂例 99

5.3 反常积分及计算 100

一、无穷区间上的反常积分 100

二、无界函数的反常积分（或瑕积分） 101

三、计算反常积分的步骤 102

5.4 定积分的应用 103

习题五 107

第6章 多元函数微分学及应用 109

6.1 多元函数、极限和连续 109

一、多元函数的概念 109

二、二元函数的极限和连续 110

6.2 二元函数偏导数、全微分 112

一、偏导数 112

二、全微分 114

6.3 多元复合函数求导法和隐函数求导法 118

一、多元复合函数的求导法 118

二、多元隐函数求导法 121

6.4 多元函数的极值、条件极值和最值 124

一、基本概念和定理 124

二、极值的求法 124

习题六 128

第7章 二重积分 131

7.1 二重积分 131

一、二重积分的概念 131

二、二重积分的基本性质 132

三、二重积分的计算 134

四、分段函数的二重积分 140

7.2 无界区域上的二重积分 141

习题七 142

第8章 无穷级数 144

8.1 数项级数 144

一、级数的概念 144

二、正项级数收敛性的判别 147

三、交错级数？(-1)n－1un,(un>0)与莱布尼茨定理 149

四、任意项级数？un（un 可正、可负、可0）的绝对收敛和条件收敛 151

8.2 幂级数 153

一、函数项级数（大纲不要求） 153

二、幂级数 154

习题八 159

第9章 常微分方程 162

9.1 微分方程的基本概念 162

一、微分方程 162

二、常微分方程的解 162

9.2 一阶微分方程 163

一、可分离变量的微分方程 163

二、齐次方程 163

三、一阶线性微分方程 165

9.3 二阶线性微分方程 167

一、线性微分方程解的性质和结构定理 167

二、常系数齐次和非齐次线性微分方程 168

9.4 差分方程 172

习题九 174

第10章 微积分在经济中的应用 177

一、基本概念和公式 177

二、复利问题 182

第2篇 线性代数 184

第1章 行列式 184

1.1 行列式的概念 184

一、排列与逆序 184

二、n阶行列式定义 185

三、特殊的行列式 185

1.2 行列式的性质和定理 186

一、行列式的性质 186

二、行列式按行（列）展开定理 187

1.3 行列式的计算 188

1.4 克莱姆法则 192

习题一 194

第2章 矩阵 197

2.1 矩阵的概念 197

一、矩阵的概念和运算 197

二、方阵的行列式 199

2.2 逆矩阵和伴随矩阵 200

一、逆矩阵 200

二、伴随矩阵 201

2.3 分块矩阵 202

2.4 初等变换 203

一、初等变换 203

二、初等矩阵 204

三、矩阵的秩 205

习题二 207

第3章 向量 211

3.1 向量 211

一、基本概念和运算法则 211

二、线性组合 212

三、线性相关和线性无关 212

四、向量组的等价 214

五、向量组相关性的重要结论 214

3.2 向量组的秩 214

一、极大线性无关组 214

二、向量组的秩 215

3.3 内积与施密特正交化方法 216

一、向量的内积，长度及正交 216

二、Schmidt正交化方法 216

习题三 217

第4章 线性方程组 219

4.1 高斯消元法 219

一、基本概念 219

二、高斯消元法（用初等变换求线性方程组的解） 219

4.2 线性方程组解的结构、性质和判定 222

一、齐次线性方程组Am×nx＝0的基础解系 222

二、齐次线性方程组Am×nx＝0的解判定定理、性质和结构定理 224

三、非齐次线性方程组Am×nx＝b的解的判定定理、性质和结构定理 225

四、两个线性方程组解之间的关系 228

4.3 线性方程组在向量中的应用 229

一、向量的线性相关性 229

二、向量组的线性表示的问题 230

习题四 232

第5章 特征值与特征向量 235

5.1 特征值与特征向量 235

一、基本概念 235

二、基本性质 236

三、计算特征值与特征向量 236

5.2 相似矩阵与矩阵的对角化 238

一、基本概念和性质 238

二、矩阵的相似对角化的步骤 239

三、实对称矩阵的相似对角化 240

习题五 241

第6章 二次型 245

6.1 基本概念和性质 245

一、二次型的定义 245

二、合同变换和合同矩阵 246

三、二次型的标准形与规范型 247

四、矩阵的等价、相似和合同的结论 252

6.2 正定二次型 253

习题六 255

第3篇 概率论与数理统计第1章 随机事件与概率 258

1.1 基本概念与性质 258

一、基本概念 258

二、事件的概率和性质 260

1.2 古典概率 262

一、古典概型 262

二、几何概型 264

1.3 条件概率和三个概率计算公式 265

一、条件概率 265

二、三个概率计算公式 266

1.4 事件的独立性和贝努里概型 269

一、事件的独立性 269

二、贝努里（Bernoulli）概型 270

习题一 271

第2章 随机变量及其分布 275

2.1 基本概念和性质 275

一、随机变量和分布函数 275

二、离散型随机变量 276

三、连续型随机变量 280

2.2 随机变量函数的分布 282

一、离散型随机变量函数的分布 282

二、连续型随机变量函数的分布 283

习题二 285

第3章 多维随机变量及其分布 289

3.1 基本概念 289

一、二维随机变量的分布 289

二、边缘分布 290

3.2 二维随机变量 290

一、二维离散型随机变量 290

二、二维连续型随机变量 294

三、相互独立的随机变量 297

3.3 随机变量的函数分布Z＝g(X,Y) 299

习题三 303

第4章 随机变量的数字特征 308

4.1 一维随机变量的数字特征 308

一、数学期望和方差 308

二、重要结论和公式 310

三、由随机试验给出的随机变量的数字特征的计算 311

4.2 二维（多维）随机变量的数字特征 312

一、两个随机变量函数的数学期望 312

二、协方差，相关系数和矩 312

三、二维随机变量及其函数的数字特征的计算 313

四、利用（0—1）分布求多维随机变量数字特征 319

习题四 321

第5章 大数定律与中心极限定理 324

5.1 大数定律 324

一、切比雪夫不等式 324

二、大数定律 325

5.2 中心极限定理 326

一、列维-林德伯格定理 326

二、棣莫佛-拉普拉斯定理 327

习题五 329

第6章 样本与抽样分布 331

6.1 数理统计的基本概念和结论 331

一、总体与样本 331

二、统计量 332

三、分位数 333

6.2 三个常用统计量分布，x2分布，t分布和F分布 333

一、x2分布 333

二、t分布 333

三、F分布 334

四、正态总体的抽样分布 334

五、统计量的数字特征 336

习题六 338

第7章 参数估计 340

一、基本概念 340

二、矩估计法 340

三、最大似然估计法 341

习题七 343