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第1章　函数与极限 1

1.1 函数 1

1.1.1　函数的概念 1

1.1.2　函数的几个特性 4

1.1.3　反函数与复合函数 6

1.1.4　初等函数 7

习题1.1 7

1.2　极限 8

1.2.1 数列的极限 8

1.2.2　函数的极限 11

1.2.3　函数极限的性质 14

习题1.2 14

1.3　无穷小与无穷大 15

1.3.1 无穷小与无穷大 15

1.3.2　无穷小的性质 16

习题1.3 17

1.4　极限的运算法则 17

1.4.1　极限的四则运算法则 17

1.4.2　复合函数的极限运算法则 20

习题1.4 22

1.5　极限存在的准则与两个重要极限 22

1.5.1　极限存在的两个准则 22

1.5.2　两个重要极限 23

习题1.5 27

1.6　无穷小的比较 27

习题1.6 30

1.7　函数的连续性 30

1.7.1 函数的连续性 30

1.7.2　初等函数的连续性 33

1.7.3　闭区间上连续函数的性质 36

习题1.7 37

复习题1 38

第2章　导数与微分 40

2.1　导数概念 40

2.1.1 引例 40

2.1.2　导数的定义 42

2.1.3　导数的几何意义 45

2.1.4　函数的可导性与连续性的关系 46

习题2.1 47

2.2　函数的求导法则 47

2.2.1　导数的四则运算法则 47

2.2.2　反函数的求导法则 49

2.2.3　复合函数的求导法则 50

2.2.4　基本求导公式与求导法则 51

2.2.5　高阶导数 53

习题2.2 55

2.3　隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 56

2.3.1 隐函数的求导法则 56

2.3.2　由参数方程所确定的函数的导数 57

习题2.3 58

2.4　函数的微分及其应用 59

2.4.1　微分的定义 59

2.4.2　微分的几何意义 61

2.4.3　基本微分公式与运算法则 62

2.4.4　微分在近似计算中的应用 64

习题2.4 66

复习题2 66

第3章　微分中值定理与导数的应用 69

3.1　微分中值定理 69

3.1.1 罗尔定理 69

3.1.2　拉格朗日中值定理 70

3.1.3　柯西中值定理 71

习题3.1 72

3.2　洛必达法则 72

3.2.1 0/0与∞/∞型未定式 72

3.2.2　其他类型未定式 75

习题3.2 76

3.3　函数的单调性与曲线的凹凸性 77

3.3.1 函数的单调性 77

3.3.2　曲线的凹凸性 79

习题3.3 81

3.4　函数的极值与最大值、最小值 82

3.4.1　函数的极值 82

3.4.2　函数的最大值、最小值 85

习题3.4 87

3.5　函数图形的描绘 87

3.5.1 渐近线 87

3.5.2　函数图形的描绘 88

习题3.5 90

3.6　曲率 90

3.6.1 弧微分 90

3.6.2　曲率及其计算公式 91

3.6.3　曲率圆与曲率半径 94

习题3.6 95

复习题3 95

第4章　不定积分 97

4.1 不定积分的概念与性质 97

4.1.1　原函数的概念 97

4.1.2　不定积分的概念 98

4.1.3　基本积分表 100

4.1.4　不定积分的性质 101

习题4.1 102

4.2　换元积分法 103

4.2.1　第一类换元法 103

4.2.2　第二类换元法 108

习题4.2 111

4.3　分部积分法 112

习题4.3 115

4.4　积分表的使用 116

4.4.1　在积分表中能直接查到的积分 116

4.4.2　先变量替换，再查表的积分 117

4.4.3　可用递推公式的积分 117

习题4.4 118

复习题4 118

第5章　定积分 120

5.1　定积分的概念与性质 120

5.1.1 两个引例 120

5.1.2　定积分的定义 122

5.1.3　定积分的几何意义 124

5.1.4　定积分的性质 125

习题5.1 126

5.2　微积分基本公式 127

5.2.1 引例：变速直线运动中位置函数与速度函数的关系 127

5.2.2　积分上限函数及其导数 127

5.2.3　牛顿—莱布尼茨公式 129

习题5.2 131

5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 132

5.3.1　定积分的换元积分法 132

5.3.2　定积分的分部积分法 135

习题5.3 136

5.4　反常积分 137

5.4.1　无穷限的反常积分 137

5.4.2　无界函数的反常积分 138

习题5.4 140

复习题5 141

第6章　定积分的应用 143

6.1　定积分的元素法 143

6.2　定积分的几何应用 144

6.2.1 平面图形的面积 144

6.2.2　体积 147

6.2.3　平面曲线的弧长 150

习题6.2 151

6.3　定积分的物理应用 151

6.3.1 变力做功 151

6.3.2　液体压力 154

6.3.3 引力 156

习题6.3 156

6.4　函数的平均值 157

习题6.4 158

复习题6 158

第7章　微分方程 160

7.1　微分方程的基本概念 160

7.1.1 引例 160

7.1.2　微分方程的一般概念 161

习题7.1 163

7.2　一阶微分方程 163

7.2.1 可分离变量的微分方程 163

7.2.2　齐次型微分方程 165

7.2.3　一阶线性微分方程 169

7.2.4　伯努利方程 171

习题7.2 173

7.3　可降阶的微分方程 173

7.3.1　右端仅含x的方程 173

7.3.2　右端不显含y的方程 175

7.3.3　右端不显含x的方程 176

7.3.4　二阶常系数齐次线性微分方程 177

习题7.3 179

复习题7 179

附录 182

习题答案 192

参考文献 206