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第1章 引言 1

1.1 微分方程及其定解问题 1

1.1.1 一阶常微分方程及其初值问题 2

1.1.2 几类典型的偏微分方程及其定解条件 3

1.2 预备知识 5

1.2.1 基本记号与Green公式 5

1.2.2 泛函基础知识 6

1.2.3 Sobolev空间初步 11

1.3 微分方程的应用 16

1.4 微分方程数值解法概述 28

习题1 29

第2章 常微分方程初值问题的数值解 31

2.1 一阶常微分方程初值问题解的存在性与稳定性 31

2.2 Euler公式 32

2.2.1 Euler公式及其稳定性 33

2.2.2 Euler公式的误差估计及收敛性 41

2.3 Runge-Kutta公式 45

2.3.1 Taylor级数法 45

2.3.2 显式Runge-Kutta方法及其绝对稳定性 47

2.3.3 隐式Runge-Kutta方法及其绝对稳定性 53

2.4 线性多步法 57

2.5 一阶常微分方程组及高阶方程的数值解法 62

习题2 64

第3章 椭圆型方程边值问题 67

3.1 两点边值问题 67

3.1.1 极值原理 67

3.1.2 Green函数与两点边值问题解的存在性 70

3.1.3 变分方程与弱解 73

3.2 椭圆型偏微分方程边值问题 77

3.2.1 极值原理 77

3.2.2 椭圆型偏微分方程的变分形式 79

3.2.3 其他边值问题的处理 83

3.2.4 Poisson方程Neumann边值问题的弱解 85

习题3 87

第4章 椭圆型方程边值问题的差分法 90

4.1 两点边值问题的差分法 90

4.2 Poisson方程的差分法 96

4.2.1 Poisson方程Dirichlet问题的五点差分格式 96

4.2.2 其他边值条件的处理 100

4.2.3 一般区域的处理 102

习题4 104

第5章 椭圆型方程边值问题的有限元法 106

5.1 两点边值问题的有限元法 106

5.1.1 Gaerkin方法与Ritz方法 106

5.1.2 两点边值问题的有限元法 110

5.1.3 两点边值问题的线性有限元解的误差估计 113

5.1.4 边界条件的处理 118

5.2 二维Poisson方程的有限元法 121

5.2.1 三角剖分及有限元方程的建立 121

5.2.2 面积坐标及刚度矩阵和荷载向量的计算 123

5.2.3 有限元解的误差估计 128

5.2.4 其他情形的处理 129

习题5 132

第6章 抛物型方程的有限差分法 135

6.1 一维常系数抛物型方程 135

6.1.1 最简差分格式 136

6.1.2 初边值条件的处理 141

6.1.3 数值例子 142

6.2 变系数抛物型方程 144

6.2.1 Taylor级数展开法 144

6.2.2 有限体积法 146

6.3 差分格式的稳定性与收敛性 149

6.3.1 相容性、稳定性及收敛性概念 149

6.3.2 稳定性与收敛性的关系 152

6.3.3 判别稳定性的直接方法 152

6.4 稳定性分析的Fourier方法 156

6.5 多维抛物型方程 163

6.5.1 二维抛物型方程的差分格式 164

6.5.2 交替方向隐式格式 165

6.5.3 局部一维格式 168

习题6 169

第7章 双曲型方程的有限差分法 172

7.1 双曲型方程 172

7.1.1 双曲型方程组及其特征 173

7.1.2 依存域、决定域与影响域 175

7.2 一阶线性双曲型方程的差分格式 176

7.2.1 常用差分格式 176

7.2.2 初边值条件的处理 182

7.3 一阶线性双曲型方程组的差分格式 183

7.4 二阶线性双曲型方程的差分格式 186

7.4.1 波动方程的差分格式 186

7.4.2 初边值条件的处理 188

习题7 189

第8章 数值线性代数 192

8.1 直接法 192

8.1.1 基于矩阵的三角分解的直接法 192

8.1.2 Fourier变换及快速算法 194

8.2 几种基本迭代法 198

8.2.1 几种经典的迭代格式 198

8.2.2 模型问题的谱分析 199

8.2.3 共轭梯度法 202

习题8 206

第9章 多重网格法和区域分解法简介 208

9.1 多重网格法 208

9.1.1 迭代法的磨光性质 208

9.1.2 两重网格法 210

9.1.3 V循环多重网格法 214

9.1.4 二维问题的多重网格法 215

9.2 区域分解法简介 218

9.2.1 Schwarz交替法 218

9.2.2 加性Schwarz算法 219

习题9 220

参考文献 222