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第1章 函数Function 1

1.1 函数 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 函数的概念 3

1.1.3 具有某种特征的函数 6

习题1-1 8

1.2 初等函数 9

1.2.1 复合函数 9

1.2.2 反函数 11

1.2.3 基本初等函数 13

1.2.4 初等函数 16

习题1-2 16

复习题一 19

第2章 函数的极限Limit of Function 21

2.1 数列的极限 21

2.1.1 数列极限的定义 21

2.1.2 单调有界原理 24

2.1.3 数列极限的性质 26

习题2-1 28

2.2 函数的极限 29

2.2.1 当x→∞时，函数f（x）的极限 29

2.2.2 当x→x0时，函数f（x）的极限 31

2.2.3 左极限和右极限 34

习题2-2 35

2.3 函数极限的性质和运算 36

2.3.1 函数极限的性质 36

2.3.2 函数极限的四则运算 37

2.3.3 复合函数的极限 40

习题2-3 41

2.4 两个重要极限 41

习题2-4 46

2.5 无穷小与无穷大 46

2.5.1 无穷小 46

2.5.2 无穷大 47

2.5.3 无穷小与无穷大的关系 48

2.5.4 无穷小的比较 49

习题2-5 50

2.6 连续函数 51

2.6.1 连续函数的概念 51

2.6.2 函数的间断点 53

2.6.3 初等函数的连续性 55

2.6.4 闭区间上连续函数的性质 57

习题2-6 59

复习题二 60

第3章 导数与微分Derivative and Differential 63

3.1 导数的概念 63

3.1.1 导数的引入 63

3.1.2 导数的概念 64

3.1.3 导数的几何意义 70

3.1.4 可导与连续的关系 71

习题3-1 73

3.2 求导法则与导数公式 74

3.2.1 函数和、差、积、商的求导法则 74

3.2.2 反函数的求导法则 78

3.2.3 复合函数的求导法则 79

3.2.4 初等函数的导数 81

习题3-2 82

3.3 隐函数与由参数方程所确定的函数的导数 82

3.3.1 隐函数的求导方法 82

3.3.2 由参数方程所确定的函数的求导公式 85

习题3-3 86

3.4 高阶导数 86

习题3-4 90

3.5 微分 91

3.5.1 微分的概念 91

3.5.2 微分的几何意义 93

3.5.3 微分的运算法则和公式 94

3.5.4 微分在近似计算中的应用 96

习题3-5 97

复习题三 98

第4章 微分中值定理Mean Value Theorem for Differential 101

4.1 微分中值定理 101

4.1.1 罗尔定理 101

4.1.2 拉格朗日中值定理 103

习题4-1 108

4.2 洛必达法则 109

4.2.1 0/0型未定式 109

4.2.2 ∞/∞型未定式 112

4.2.3 其他未定式 114

习题4-2 116

4.3 泰勒公式 117

4.3.1 泰勒中值定理 117

4.3.2 函数的泰勒展开式举例 121

习题4-3 123

4.4 函数的单调性与极值 124

4.4.1 函数的单调性 124

4.4.2 函数的极值 127

习题4-4 130

4.5 函数的凸性、曲线的拐点及渐近线 130

4.5.1 函数的凸性、曲线的拐点 130

4.5.2 曲线的渐近线 134

4.5.3 函数图形的描绘 136

习题4-5 138

复习题四 140

第5章 不定积分Indefinite Integral 143

5.1 不定积分的概念与性质 143

5.1.1 原函数的概念 143

5.1.2 不定积分的概念 144

5.1.3 不定积分的几何意义 145

5.1.4 基本积分表 145

5.1.5 不定积分的性质 146

习题5-1 148

5.2 换元积分法 149

5.2.1 第一类换元积分法（凑微分法） 149

5.2.2 第二类换元积分法 155

习题5-2 159

5.3 分部积分法 160

习题5-3 164

5.4 有理函数的积分 165

5.4.1 有理函数的积分 165

5.4.2 可化为有理函数的积分 168

习题5-4 170

复习题五 170

第6章 定积分及其应用Definite Integral and Its Applications 173

6.1 定积分的概念 173

6.1.1 引例 173

6.1.2 定积分的概念 175

6.1.3 可积的条件 176

6.1.4 定积分的几何意义 177

习题6-1 178

6.2 定积分的性质 179

习题6-2 183

6.3 微积分基本公式 184

6.3.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 184

6.3.2 积分上限函数及其导数 185

6.3.3 牛顿-莱布尼兹公式 188

习题6-3 190

6.4 换元积分法和分部积分法 191

6.4.1 换元积分法 191

6.4.2 分部积分法 195

习题6-4 197

6.5 反常积分 198

6.5.1 无穷区间上的反常积分 198

6.5.2 无界函数的反常积分 201

习题6-5 203

6.6 定积分在几何上的应用 203

6.6.1 定积分的微元法 204

6.6.2 平面图形的面积 205

6.6.3 旋转体的体积 209

6.6.4 平行截面面积已知的立体体积 211

习题6-6 212

6.7 定积分在物理学上的应用 213

6.7.1 变力沿直线所作的功 213

6.7.2 水压力 214

6.7.3 引力 215

习题6-7 216

复习题六 218

第7章 微分方程Differential Equation 221

7.1 微分方程的基本概念 221

习题7-1 225

7.2 一阶微分方程 225

7.2.1 可分离变量的微分方程 225

7.2.2 齐次方程 228

7.2.3 一阶线性微分方程 230

习题7-2 234

7.3 可降阶的高阶微分方程 235

7.3.1 y(n)=f（x）型微分方程 235

7.3.2 不显含未知函数y的微分方程y″=f（x,y′） 236

7.3.3 不显含自变量x的微分方程y″=f（y,y′） 236

习题7-3 237

7.4 二阶常系数线性微分方程 238

7.4.1 二阶常系数线性微分方程解的结构 238

7.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程 239

7.4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程 243

习题7-4 249

复习题七 249

参考文献 251