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第1章 函数 1

1.1 函数的概念 1

1.1.1 实数与数轴 1

1.1.2 数集与界 1

1.1.3 函数的概念 3

1.2 函数的一些重要属性 6

1.2.1 函数的有界性 6

1.2.2 函数的单调性 6

1.2.3 函数的奇偶性 7

1.2.4 函数的周期性 7

1.3 隐函数与反函数 8

1.3.1 隐函数 8

1.3.2 反函数 8

1.4 基本初等函数 9

1.4.1 幂函数 9

1.4.2 三角函数 9

1.4.3 反三角函数 10

1.4.4 指数函数 11

1.4.5 对数函数 11

1.5 复合函数与初等函数 12

习题一 12

第2章 极限与连续 17

2.1 数列的极限 17

2.2 收敛数列的性质和运算 20

2.3 数列极限存在的判别法 23

2.4 函数的极限 26

2.4.1 x→∞时函数f（x）的极限 26

2.4.2 x→x0时函数的极限 28

2.5 函数极限的性质 30

2.5.1 函数极限的性质 30

2.5.2 两个重要极限 33

2.6 无穷小和无穷大 36

2.6.1 无穷小 36

2.6.2 无穷大 37

2.6.3 无穷小的比较 39

2.7 函数的连续性 41

2.7.1 连续与间断 41

2.7.2 函数连续性的判定定理 44

2.7.3 连续在极限运算中的应用 46

2.7.4 闭区间上连续函数的性质 47

2.8 例题 49

习题二 52

第3章 导数与微分 59

3.1 导数概念 59

3.1.1 实例 59

3.1.2 导数的定义 60

3.2 导数的基本公式与四则运算求导法则 63

3.2.1 导数的基本公式 63

3.2.2 四则运算求导法则 65

3.3 其他求导法则 67

3.3.1 反函数与复合函数求导法则 67

3.3.2 隐函数与参数方程求导法则 69

3.3.3 极坐标下导数的几何意义 72

3.3.4 相对变化率问题 73

3.4 高阶导数 73

3.5 微分 77

3.5.1 微分运算 79

3.5.2 微分在近似计算中的应用 80

3.5.3 微分在误差估计中的应用 81

习题三 82

第4章 中值定理及导数应用 91

4.1 微分中值定理 91

4.2 洛必达法则 96

4.2.1 0/0和∞/∞型未定式 96

4.2.2 其他型未定式 98

4.3 泰勒公式 100

4.4 极值的判定和最值性 106

4.5 函数的凸性和作图 109

4.5.1 凸函数、曲线的凸向及拐点 109

4.5.2 曲线的渐近线 111

4.5.3 函数的分析作图法 113

4.6 平面曲线的曲率 114

4.6.1 弧微分 114

4.6.2 曲线的曲率 116

4.7 例题 120

习题四 123

第5章 不定积分 133

5.1 原函数与不定积分 133

5.2 换元积分法 137

5.3 分部积分法 140

5.4 几类函数的积分 144

5.4.1 有理函数的积分 144

5.4.2 三角函数有理式的积分 147

5.4.3 简单无理函数的积分 148

5.5 例题 149

习题五 152

第6章 定积分及其应用 158

6.1 定积分的概念与性质 158

6.1.1 定积分的概念 158

6.1.2 定积分的简单性质 161

6.2 微积分学基本定理 164

6.3 定积分的计算 167

6.3.1 定积分的换元积分法 167

6.3.2 定积分的分部积分法 170

6.4 反常积分 171

6.4.1 无穷区间上的反常积分 171

6.4.2 无界函数的反常积分 174

6.5 定积分的应用 176

6.5.1 微元法 176

6.5.2 定积分在几何问题中的应用 177

6.5.3 平均值 185

6.5.4 定积分在物理问题中的应用 186

6.6 例题 188

习题六 196

第7章 微分方程 208

7.1 微分方程的基本概念 208

7.2 一阶微分方程 209

7.2.1 可分离变量的方程 209

7.2.2 一阶线性微分方程 210

7.2.3 变量代换 212

7.2.4 应用实例 214

7.3 几种可降阶的高阶微分方程 217

7.3.1 y(n)=f（x）型方程 217

7.3.2 y"=f（y,y'）型方程 218

7.3.3 y"=f（y,y'）型方程 219

7.3.4 应用实例 220

7.4 高阶线性微分方程 222

7.4.1 二阶线性微分方程举例 222

7.4.2 线性微分方程的解的结构 224

7.4.3 常数变量法 226

7.5 二阶常系数线性微分方程 228

7.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程 228

7.5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程 232

7.5.3 欧拉方程 236

7.5.4 常系数线性微分方程组解法举例 237

7.5.5 应用实例 239

习题七 241

附录 248

附录Ⅰ n个基本定理 248

附录Ⅱ 上、下极限 253

附录Ⅲ 微积分学在经济学中的应用 254