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第1章 引言和预备知识 1

1.1与近世代数相关的几个问题 1

1.1.1数字通信中的可靠问题 1

1.1.2数字通信中的保密问题 2

1.1.3几何作图问题 3

1.1.4代数方程求根问题 3

1.2集合和映射 4

1.2.1集合 4

1.2.2映射 5

1.3代数运算及运算律 6

1.4等价关系与集合的分划 8

习题 10

第2章群 11

2.1群的概念 11

2.1.1群的定义 11

2.1.2群的简单性质 12

2.1.3群的等价定义 13

2.1.4相关概念 14

2.1.5群的同态 16

2.2变换群与置换群 19

2.2.1变换群 19

2.2.2置换群 21

2.3子群与陪集分解 23

2.3.1子群的概念 23

2.3.2子群的陪集分解 24

2.4循环群 27

2.4.1群的生成 27

2.4.2循环群定义 27

2.4.3循环群的生成元与子群 29

2.5正规子群，商群与同态定理 32

2.5.1正规子群 32

2.5.2商群 33

2.5.3群同态定理 34

2.6.群在集合上的作用 36

2.7 Sylow子群 38

2.8有限Abel群的结构 39

2.8.1群的直积 39

2.8.2有限Abel群的结构 40

2.9群在密码体制中的应用 41

习题 43

第3章 环与域 46

3.1环的基本概念及性质 46

3.1.1环的定义 46

3.1.2几类特殊的环 47

3.1.3环的简单性质 50

3.1.4无零因子环的性质与特征 50

3.2子环和理想子环 52

3.2.1子环 52

3.2.2理想子环 53

3.2.3主理想、极大理想和素理想 54

3.3环的同态与商环 57

3.3.1环的同态 57

3.3.2商环与环同态基本定理 59

3.3.3极大理想、素理想与其商环的关系 61

3.4商域（分式域） 63

3.4.1环的扩充 64

3.4.2商域 65

3.5唯一分解环 69

3.5.1基本概念 69

3.5.2唯一分解环 71

3.6主理想整环和欧氏环 75

3.6.1主理想整环 75

3.6.2欧氏环 77

3.7多项式环 78

3.7.1环上的一元多项式 78

3.7.2域上的一元多项式 80

3.8环和域在循环码中的应用 84

习题 87

第4章 扩域 90

4.1域的单扩张 90

4.1.1素域与扩域的概念 90

4.1.2扩域的结构 91

4.1.3域的单扩域（张） 92

4.1.4单扩域的存在性与唯一性 93

4.2代数扩域（张） 94

4.2.1有限扩域 94

4.2.2代数扩域与有限扩域 95

4.3分裂域 97

4.3.1分裂域的概念 97

4.3.2分裂域的存在性 99

4.4有限域 100

4.4.1有限域的构造 100

4.4.2有限域的性质 102

4.5扩域在循环码中的应用 103

习题 105

参考文献 106