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第1章 行列式 1

1.1 行列式的定义、性质与公式 1

1.1.1 行列式的定义 1

1.1.2 行列式的性质 1

1.1.3 行列式中的常用公式 2

1.1.4 判断行列式是否为零的常用方法 4

1.2 定义法 4

1.3 化三角形法 5

1.3.1 对角线以下（上）的元素与某行（列）对应元素成比例 5

1.3.2 行列式各行（列）元素的和都相同 6

1.3.3 行列式的行（列）递进转化 7

1.4 Vandermonde行列式法 8

1.4.1 利用性质将行列式化成Vandermonde行列式 8

1.4.2 行列式的元素为乘积之和或能展成乘积之和 9

1.4.3 行列式形似Vandermonde行列式但变量缺少一方幂 10

1.4.4 Vandermonde行列式在数学分析中的应用 12

1.5 分裂行列式法 14

1.5.1 拆成和 14

1.5.2 拆成积 15

1.6 加边法 16

1.7 降阶法 19

1.7.1 造零法 19

1.7.2 利用行列式的降阶定理计算行列式 20

1.8 递推法 22

1.8.1 直接递推法 23

1.8.2 间接递推法 24

1.9 数学归纳法 26

1.10 作辅助行列式法 28

习题1 29

第2章 矩阵理论 32

2.1 标准单位向量及其应用 32

2.2 分块矩阵的初等变换与矩阵的秩 35

2.2.1 矩阵的初等变换与分块矩阵的初等变换 35

2.2.2 矩阵秩的求法 38

2.2.3 矩阵秩的等式与不等式 39

2.3 可逆矩阵与伴随矩阵 45

2.3.1 逆矩阵 46

2.3.2 伴随矩阵 52

2.4 矩阵的三种等价关系 56

2.4.1 三种等价关系的定义 56

2.4.2 性质 56

2.5 矩阵的特征值、特征向量与对角化 61

2.5.1 矩阵的特征值与特征多项式 61

2.5.2 矩阵的迹（trace） 70

2.5.3 矩阵的最小多项式 76

2.5.4 矩阵的对角化 77

2.6 多项式矩阵的Smith标准形及其应用 88

2.6.1 多项式矩阵及其行列式 88

2.6.2 多项式矩阵的初等变换与初等矩阵 89

2.6.3 多项式矩阵的Smith标准形 90

2.6.4 同时求矩阵的特征根和特征向量及可对角化判定 92

2.7 矩阵的分解 94

2.7.1 矩阵的积因子分解 94

2.7.2 和因子分解 119

2.8 几种特殊的矩阵 122

2.8.1 准对角矩阵 122

2.8.2 上（下）三角阵 123

2.8.3 对称矩阵与反对称矩阵 124

2.8.4 幂等矩阵 128

2.8.5 幂零矩阵 130

2.8.6 对合矩阵 133

2.8.7 正交矩阵 135

习题2 137

第3章 线性方程组 143

3.1 Cramer法则 143

3.2 齐次线性方程组 145

3.2.1 齐次线性方程组有非零解的充要条件 145

3.2.2 齐次线性方程组的基础解系及其有关证明 147

3.2.3 齐次线性方程组的反问题 151

3.2.4 基础解系的简便求法 152

3.3 非齐次线性方程组 154

3.3.1 线性方程组有解的判别定理 154

3.3.2 非齐次线性方程组解的结构 155

3.3.3 非齐次线性方程组的简便解法 158

习题3 161

第4章 多项式 164

4.1 多项式的整除 164

4.1.1 带余除法 164

4.1.2 整除的定义及性质 168

4.2 最大公因式与最小公倍式 170

4.2.1 最大公因式的定义与性质 170

4.2.2 多项式的互素 176

4.2.3 最小公倍式 182

4.2.4 多项式最大公因式与最小公倍式的矩阵求法 185

4.3 不可约多项式与因式分解 189

4.3.1 不可约多项式 189

4.3.2 因式分解 192

4.4 多项式函数与多项式的根 197

4.4.1 多项式函数 197

4.4.2 多项式的根 197

4.4.3 多项式的根与系数的关系 202

4.4.4 n次单位根 203

4.4.5 有理根 205

习题4 205

第5章 二次型理论 208

5.1 二次型的基础理论 208

5.1.1 二次型线性空间与对称矩阵空间同构 208

5.1.2 二次型的标准形 208

5.1.3 二次型的规范形（或正规形） 211

5.2 正定二次型 221

5.2.1 正定、半正定、负定、半负定及不定二次型的定义 221

5.2.2 正定矩阵等的判定 222

5.2.3 关于正定矩阵的一些重要结论 230

5.2.4 正定与半正定矩阵的应用 235

习题5 251

第6章 线性空间 254

6.1 线性空间 254

6.1.1 线性空间的定义 254

6.1.2 线性空间的简单性质 255

6.2 向量的线性关系 255

6.2.1 线性组合与线性表示 255

6.2.2 线性相关与线性无关 256

6.2.3 向量组的等价 259

6.2.4 极大线性无关组 260

6.2.5 Fn中向量线性关系的计算问题 261

6.2.6 一般线性空间中向量组的极大无关组的求法 264

6.3 基、维数、坐标 266

6.3.1 基、维数、坐标 266

6.3.2 基变换与坐标变换 269

6.4 子空间及其交与和 273

6.4.1 子空间&. 273

6.4.2 生成子空间 278

6.4.3 子空间的交与和 285

6.4.4 同时求生成子空间交与和的基 289

6.4.5 子空间的直和 292

6.4.6 余子空间 301

6.5 欧氏空间 303

6.5.1 向量的内积 303

6.5.2 度量矩阵与标准正交基 305

6.5.3 Schmidt标准正交化过程 312

6.5.4 Rm中向量组的标准正交化与矩阵的正交三角分解 313

6.5.5 欧氏空间的子空间 317

6.6 线性空间的同构 322

6.6.1 同构映射与线性空间同构的定义 322

6.6.2 同构映射的性质 322

习题6 325

第7章 线性变换 328

7.1 线性变换的定义、运算与矩阵 328

7.1.1 线性变换的定义及其性质 328

7.1.2 线性变换的运算 330

7.1.3 线性变换的矩阵 332

7.1.4 线性变换的核与值域 335

7.2 不变子空间、特征根与特征向量 344

7.2.1 不变子空间 344

7.2.2 线性变换的特征根与特征向量 349

7.2.3 特征子空间 355

7.2.4 线性变换的对角化 362

7.3 正交变换、对称变换与反对称变换 369

7.3.1 正交变换 369

7.3.2 对称变换 374

7.3.3 反对称变换 381

7.3.4 正交变换、对称变换及反对称变换的关系 381

7.4 线性变换与矩阵一一对应的应用 383

7.4.1 用矩阵理论证明线性变换的问题 383

7.4.2 用线性变换的理论证明矩阵问题 385

7.4.3 矩阵和线性变换交替使用 388

习题7 388

习题答案与提示 394

参考文献 452

索引 453

《大学数学科学丛书》已出版书目 458