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第1章 多项式 1

1.1多项式的次数 1

1.2多项式的整除性 3

1.3多项式的根 6

1.4最大公因式 8

1.5互素 10

1.6不可约多项式 12

1.7重因式 13

1.8整系数多项式（全体记为Z[x]，其中Z为整数环） 14

1.9有理系数多项式 17

1.10复、实系数多项式 19

第2章 行列式 24

2.1行列式的定义和性质 24

2.2行列式的计算方法 31

第3章 线性方程组 54

3.1向量组的线性相关性 54

3.2两个向量组之间的关系 61

3.3极大线性无关组与向量组的秩 62

3.4线性方程组有解的判定 71

3.5线性方程组解的结构 81

3.5.1齐次线性方程组解的结构 81

3.5.2非齐次线性方程组解的结构 84

3.6公共解与同解问题 88

3.7齐次线性方程组解的结构对矩阵秩的一些应用 90

第4章 矩阵 97

4.1矩阵及其运算 97

4.1.1矩阵的常规运算 97

4.1.2矩阵的分块 101

4.1.3矩阵的伴随矩阵 103

4.1.4矩阵的逆矩阵 107

4.1.5有关ααT，αTα，αβT，αTβ的问题（α，β为n维列向量） 109

4.2矩阵的秩与矩阵的分解 111

4.2.1 矩阵的秩 111

4.2.2矩阵的初等变换与初等矩阵 112

4.2.3初等变换与初等矩阵 112

4.2.4分块矩阵 114

4.3矩阵的等价标准形及其应用、满秩分解定理 121

4.3.1矩阵的等价标准形 121

4.3.2矩阵的满秩分解 122

4.3.3 矩阵多项式 125

第5章 二次型 130

5.1二次型的三种表示形式 130

5.2矩阵的合同 130

5.3任意数域P上二次型的标准形 130

5.4复数域上二次型的规范形 131

5.5实数域上的二次型的规范形 131

5.6正定二次型（实二次型） 131

5.7负定与半正（负）定二次型（实二次型） 132

第6章 线性空间 148

6.1线性空间的定义及性质 148

6.2向量的坐标 149

6.3基变换、坐标变换 149

6.3.1基变换公式 149

6.3.2坐标变换公式 150

6.4线性空间的同构 151

6.5线性空间的子空间 152

6.6子空间的交与和 157

6.7子空间的直和与空间的直和分解 160

第7章 线性变换 163

7.1线性变换概念 163

7.2线性变换的运算 163

7.3线性变换的矩阵 163

7.4特征值与特征向量 167

7.4.1矩阵的特征值与特征向量 167

7.4.2线性变换的特征值与特征向量 167

7.4.3线性变换的特征值、特征向量与矩阵的特征值、特征向量之间的关系 168

7.4.4特征值与特征向量求法 168

7.4.5常用性质 168

7.4.6特征向量的一些性质 172

7.4.7特征子空间 172

7.5矩阵的相似 173

7.6矩阵与对角阵相似的问题 175

7.7矩阵多项式 线性变换多项式 182

7.7.1线性变换？的多项式 182

7.7.2矩阵A的多项式 183

7.7.3关于矩阵多项式的特征值 183

7.7.4关于矩阵多项式的相似 183

7.7.5哈密尔顿-凯莱定理 185

7.8值域与核 187

7.8.1基本概念 187

7.8.2线性空间中线性变换的性质 190

7.8.3有关幂等变换的一些问题 192

7.8.4线性空间V到U的线性映射的像与核 195

7.8.5多项式理论对线性变换值域与核问题的一些应用 197

7.9不变子空间 199

7.9.1定义 199

7.9.2不变子空间与化简线性变换矩阵之间的关系 201

7.9.3与特征值特征向量有关的一些不变子空间 202

7.10关于？= ？的一些常见问题 203

第8章 λ-矩阵 207

8.1 λ-矩阵 207

8.2一类重要的λ-矩阵——n阶数字矩阵A的特征矩阵λE—A 208

8.3若尔当型矩阵的初等因子 211

8.4矩阵的相似标准形 212

8.5矩阵的有理标准形 218

第9章 欧氏空间 222

9.1定义及相关性质 222

9.1.1欧氏空间的定义 222

9.1.2欧氏空间的性质 222

9.2欧氏空间V的度量 222

9.2.1度量长度 222

9.2.2柯西-布涅柯夫斯基不等式 223

9.2.3夹角 223

9.3欧氏空间的度量矩阵 224

9.3.1定义 224

9.3.2欧氏空间内积计算公式 224

9.3.3度量矩阵是实对称正定矩阵 224

9.3.4同一欧氏空间两个基的度量矩阵是相合的 225

9.3.5度量矩阵的推广——格拉姆矩阵（Gram矩阵） 226

9.4正交基、标准正交基 226

9.4.1性质及定理 226

9.4.2向量组的线性相关性 228

9.4.3施密特正交化方法（或称Gram-Schmidt正交化方法） 228

9.4.4正交矩阵、酉矩阵 230

9.5欧氏空间子空间的正交补 234

9.6正交变换 235

9.6.1定义 235

9.6.2几个重要等价命题 236

9.6.3有关度量关系的不变性 238

9.6.4镜面反射（变换，矩阵）、正交变换和正交矩阵的分解 240

9.7对称变换 242

9.7.1定义、定理 242

9.7.2有关实对称矩阵的一些结论 243

9.7.3反对称变换 245

9.7.4内射影 247

9.8实二次型的正交线性替换（主轴变换法） 247

参考文献 253