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第1章 引论 1

1.1 关于各种解的一般知识 2

1.1.1 例 2

1.1.2 已给函数族的微分方程 6

1.2 微分方程组 9

1.2.1 微分方程组和单个的微分方程等价的问题 9

1.2.2 常系数线性方程组的消去法 11

1.2.3 适定的、超定的、欠定的方程组 12

1.3 特殊微分方程的求积法 14

1.3.1 分离变量法 14

1.3.2 用叠加法构造更多的解．传热方程的基本解．Poisson积分 16

1.4 两个自变量的一阶偏微分方程的几何解释．完全积分 17

1.4.1 一阶偏微分方程的几何解释 17

1.4.2 完全积分 18

1.4.3 奇异积分 20

1.4.4 例 21

1.5 一阶线性和拟线性微分方程的理论 22

1.5.1 线性微分方程 22

1.5.2 拟线性微分方程 24

1.6 Legendre变换 25

1.6.1 对于二元函数的Legendre变换 25

1.6.2 对于n元函数的Legendre变换 27

1.6.3 Legendre变换在偏微分方程上的应用 28

1.7 Cauchy和Kowalewsky存在定理 31

1.7.1 引言和例 31

1.7.2 化为拟线性微分方程组 34

1.7.3 初始流形上的导数的确定法 37

1.7.4 解析微分方程的解的存在性的证明 38

1.7.5 关于线性微分方程的一件注意事项 42

1.7.6 关于非解析微分方程的一个附注 42

1.7.7 关于临界初始数据的几点注记．特征 43

第1章附录Ⅰ 关于极小曲面的支持函数的Laplace微分方程 45

第1章附录Ⅱ 一阶微分方程组和高阶微分方程组 46

1″.1 启发性的话 46

1″.2 两个一阶偏微分方程所成的组和一个二阶微分方程等价的条件 46

第2章 一阶偏微分方程的一般理论 49

2.1 两个自变量的拟线性微分方程的几何理论 49

2.1.1 特征曲线 49

2.1.2 初值问题 50

2.1.3 例 52

2.2 n个自变量的拟线性微分方程 54

2.3 两个自变量的一般微分方程 59

2.3.1 特征曲线和焦线．Monge锥 59

2.3.2 初值问题的解 62

2.3.3 特征作为分支元素．补充说明．积分劈锥面．焦散流形 64

2.4 完全积分 65

2.5 焦线和Monge方程 66

2.6 例 68

2.6.1 直光线的微分方程．(grad u)2=1 68

2.6.2 方程F(ux,uy)=0 70

2.6.3 Clairaut微分方程 72

2.6.4 管状曲面的微分方程 73

2.6.5 齐性关系式 74

2.7 n个自变量的一般微分方程 75

2.8 完全积分及Hamilton-Jacobi理论 80

2.8.1 包络和特征曲线的造法 80

2.8.2 特征微分方程的典范形式 82

2.8.3 Hamilton-Jacobi理论 83

2.8.4 例．二体问题 85

2.8.5 例．椭球面上的短程线 87

2.9 Hamilton-Jacobi理论及变分法 88

2.9.1 典范形式的Euler微分方程 89

2.9.2 短程距离或短时距及其导数．Hamilton-Jacobi偏微分方程 90

2.9.3 齐次被积函数 93

2.9.4 极值曲线场．Hamilton-Jacobi微分方程 95

2.9.5 射线锥面．Huygens构造法 98

2.9.6 短时距的表示式的Hilbert不变积分 98

2.9.7 Hamilton-Jacobi定理 99

2.10 典范变换和应用 100

2.10.1 典范变换 100

2.10.2 Hamilton-Jacobi定理的新证明 101

2.10.3 常数的变易（典范扰动理论） 102

第2章附录Ⅰ 103

2′.1 特征流形的进一步讨论 103

2′.1.1 关于在n维空间中求导的一些注释 103

2′.1.2 初值问题．特征流形 105

2′.2 具有相同主要部分的拟线性微分方程组．理论的新推演 109

2′.3 Haar的唯一性的证明 114

第2章附录Ⅱ 守恒定理的理论 116

第3章 高阶微分方程 121

3.1 两个自变量的二阶线性和拟线性微分算子的标准形式 121

3.1.1 椭圆型、双曲型和抛物型的标准形式．混合型 121

3.1.2 例 126

3.1.3 两个自变量的二阶拟线性微分方程的标准形式 128

3.1.4 例．极小曲面 131

3.1.5 两个一阶微分方程的方程组 133

3.2 一般的分类和特征 133

3.2.1 记号 134

3.2.2 两个自变量的一阶方程组．特征 134

3.2.3 n个自变量的一阶方程组 136

3.2.4 高阶微分方程．双曲性 137

3.2.5 补注 138

3.2.6 例．Maxwell方程和Dirac方程 139

3.3 常系数线性微分方程 142

3.3.1 二阶方程的分类和标准形 143

3.3.2 二阶方程的基本解 145

3.3.3 平面波 148

3.3.4 平面波（续）．前进波．弥散 149

3.3.5 例．电报方程．电缆中的无畸变波 152

3.3.6 柱面波和球面波 153

3.4 初值问题．波动方程的辐射问题 155

3.4.1 热传导的初值问题．θ函数的变换 156

3.4.2 波动方程的初值问题 158

3.4.3 Duhamel原理．非齐次方程．推迟势 159

3.4.3′ 一阶方程组Duhamel原理 161

3.4.4 二维空间里的波动方程的初值问题．降维法 162

3.4.5 辐射问题 163

3.4.6 传播现象和Huygens原理 164

3.5 用Fourier积分解初值问题 166

3.5.1 Fourier积分的Cauchy方法 166

3.5.2 例 167

3.5.3 Cauchy方法的证明 169

3.6 数学物理微分方程的曲型问题 175

3.6.1 引言 175

3.6.2 基本原理 178

3.6.3 关于“不适定的”问题的注记 181

3.6.4 关于线性问题的一般注记 181

第3章附录Ⅰ 183

3′.1 Sobolev引理 183

3′.2 伴随算子 184

3′.2.1 矩阵算子 184

3′.2.2 伴随微分算子 186

第3章附录Ⅱ Holmgren的唯一性定理 188

第4章 势论及椭圆型微分方程 190

4.1 基本概念 190

4.1.1 Laplace方程．Poisson方程及有关方程 190

4.1.2 质量分布的势 194

4.1.3 Green公式和应用 199

4.1.4 质量分布的势的导数 204

4.2 Poisson积分及其应用 205

4.2.1 边值问题及Green函数 205

4.2.2 对于圆和球的Green函数．对于球和半空间的Poisson积分 208

4.2.3 Poisson公式的一些推论 211

4.3 平均值定理及其应用 216

4.3.1 齐次的及非齐次的平均值方程 216

4.3.2 平均值定理的逆定理 218

4.3.3 对于空间分布的势的Poisson方程 224

4.3.4 其他椭圆型微分方程的平均值定理 225

4.4 边值问题 228

4.4.1 准备知识．对边界值和区域的连续依赖性 228

4.4.2 用Schwarz交替法求边值问题的解 230

4.4.3 对于具有充分光滑边界的平面域的积分方程法 234

4.4.4 关于边界值的注记 237

4.4.4′ 容量和边界值的取得 239

4.4.5 Perron的下调和函数法 240

4.5 约化的波动方程．散射 244

4.5.1 背景 244

4.5.2 Sommerfeld的辐射条件 246

4.5.3 散射 249

4.6 更一般的椭圆型微分方程的边值问题．解的唯一性 250

4.6.1 线性微分方程 251

4.6.2 非线性方程 252

4.6.3 关于Monge-Ampère微分方程的Rellich定理 254

4.6.4 极大值原理及应用 255

4.7 Schauder的先验估计及其应用 259

4.7.1 Schauder的估计 260

4.7.2 边值问题的解 263

4.7.3 强闸函数及其应用 267

4.7.4 L[u]=f的解的某些性质 269

4.7.5 关于椭圆型方程的进一步的结果．在边界上的性态 272

4.8 Beltrami方程的解 274

4.9 关于一个特殊拟线性方程的边值问题．Leray和Schauder的不动点法 280

4.10 用积分方程法解椭圆型微分方程 284

4.10.1 特解的构造．基本解．参助函数 285

4.10.2 附注 288

第4章附录Ⅰ 非线性方程 289

4′.1 扰动理论 289

4′.2 方程△u=f(x,u) 290

第4章附录Ⅱ 椭圆型偏微分方程理论的函数论观 296

4″.1 准解析函数的定义 296

4″.2 一个积分方程 298

4″.3 相似性原理 299

4″.4 相似性原理的应用 302

4″.5 形式幂 303

4″.6 准解析函数的微分与积分 305

4″.7 例．混合型方程 307

4″.8 准解析函数的一般定义 309

4″.9 拟共形性和一个一般表示定理 310

4″.10 一个非线性边值问题 312

4″.11 Riemann映射定理的一个推广 315

4″.12 关于极小曲面的两个定理 315

4″.13 具有解析系数的方程 316

4″.14 Privaloff的定理的证明 317

4″.15 Schauder不动点定理的证明 318

第5章 两个自变量的双曲型微分方程 322

5.0 引言 322

5.1 关于主要是二阶的微分方程的特征 323

5.1.1 基本概念．拟线性方程 323

5.1.2 积分曲面上的特征 327

5.1.3 特征线是间断性的曲线、波前．间断性的传播 328

5.1.4 一般的二阶微分方程 330

5.1.5 高阶微分方程 332

5.1.6 特征在点变换下的不变性 333

5.1.7 化为一阶拟线性方程组 334

5.2 一阶双曲型方程组的特征标准形式 334

5.2.1 线性、半线性及拟线性方程组 334

5.2.2 k=2的情形．用速矢端线变换法达到线性化 337

5.3 在可压缩流体动力学上的应用 338

5.3.1 一维等熵流 338

5.3.2 球面对称流 340

5.3.3 定常无旋流 341

5.3.4 关于非等熵流的三个方程的组 342

5.3.5 线性化的方程 344

5.4 唯一性．依赖区域 345

5.4.1 依赖区域、影响区域及决定区域 345

5.4.2 对于二阶线性微分方程解的唯一性的证明 347

5.4.3 对于一阶线性组的一般唯一性定理 350

5.4.4 关于拟线性组的唯一性 353

5.4.5 能量不等式 354

5.5 解的Riemann表示 354

5.5.1 初值问题 354

5.5.2 Riemann函数 355

5.5.3 Riemann函数的对称性 358

5.5.4 Riemann函数及由一点发出的辐射．向高阶问题的推广 359

5.5.5 例 360

5.6 用迭代法解线性和半线性双曲型的初值问题 364

5.6.1 二阶方程的解的构造 364

5.6.2 对于一阶线性及半线性组的记号和结果 366

5.6.3 解的构造 368

5.6.4 附注．解对参数的依赖性 371

5.6.5 混合初值及边值问题 371

5.7 关于拟线性组的Cauchy问题 375

5.8 对于单个的高阶双曲型微分方程的Cauchy问题 377

5.8.1 化为一阶特征组 378

5.8.2 L[u]的特征表示 379

5.8.3 Gauchy问题的解 381

5.8.4 其他解法．P.Ungar给出的一个定理 382

5.8.5 附注 383

5.9 解的间断性．激波 384

5.9.1 广义解．弱解 384

5.9.2 表现守恒定律的拟线性组的间断性．激波 386

第5章附录Ⅰ 特征作为坐标的应用 388

5′.1 关于一般二阶非线性方程的附注 388

5′.1.1 拟线性微分方程 388

5′.1.2 一般的非线性方程 391

5′.2 Monge-Ampère方程的特殊性质 392

5′.3 利用复数域由椭圆型转变为双曲型的情形 395

5′.4 在椭圆型情形中解的解析性 396

5′.4.1 函数论的注记 396

5′.4.2 △u=f(x,y,u,p,q)的解的解析性 397

5′.4.3 关于一般微分方程F(x,y,u,p,q,r,s,t)=0的注记 400

5′.5 对于解的延拓使用复数量 400

第5章附录Ⅱ 瞬态问题与Heaviside运算微积 402

5″.1 用积分表示解瞬态问题 402

5″.1.1 显例．波动方程 402

5″.1.2 问题的一般性提法 404

5″.1.3 Duhamel积分 405

5″.1.4 实验解叠加法 408

5″.2 Heaviside算子法 409

5″.2.1 最简单的算子 410

5″.2.2 算子实例及应用 412

5″.2.3 应用于传热问题 416

5″.2.4 波动方程 418

5″.2.5 运算微积的理论根据．其他一些算子的解释 419

5″.3 瞬态问题的一般理论 424

5″.3.1 Laplace变换 424

5″.3.2 用Laplace变换解瞬态问题 426

5″.3.3 举例．波动方程与电报方程 431

第6章 多于两个自变量的双曲型微分方程 436

6.0 引言 436

第一部分 解的唯一性、构造、几何性质 437

6.1 二阶微分方程．特征的几何性质 437

6.1.1 二阶拟线性微分方程 437

6.1.2 线性微分方程 440

6.1.3 射线或双特征 441

6.1.4 特征曲面作为波前 443

6.1.5 特征的不变性 444

6.1.6 射线锥面．法锥面．射线劈锥面 445

6.1.7 与Riemann尺度的联系 446

6.1.8 对射变换 448

6.1.9 Huygens的波前构图法 449

6.1.10 类空间曲面．类时间方向 450

6.2 二阶方程．特征的作用 450

6.2.1 二阶间断性 451

6.2.2 沿特征曲面的微分方程 452

6.2.3 间断性沿射线的传播 453

6.2.4 例证．三维空间里波动方程Cauchy问题的解 454

6.3 高阶算子的特征流形的几何性质 456

6.3.1 记号 456

6.3.2 特征曲面．特征形．特征矩阵 458

6.3.3 特征条件在时空中的解释．法锥面与法曲面．特征零化矢量与本征值 459

6.3.4 特征曲面——波前的构造．射线、射线锥面、射线劈锥面 461

6.3.5 波前与Huygens的构图法．射线曲面与法曲面 463

6.3.6 不变性 465

6.3.7 双曲性．类空间流形、类时间方向 466

6.3.8 对称双曲型算子 468

6.3.9 高阶对称双曲型方程 469

6.3.10 多重特征曲面叶和可约化性 470

6.3.11 关于双特征方向的引理 471

6.3′ 例．流体动力学、晶体光学、磁流体动力学 473

6.3′.1 引言 473

6.3′.2 流体动力学微分方程组 473

6.3′.3 晶体光学 476

6.3′.4 法曲面和射线曲面的形状 478

6.3′.5 晶体光学的Cauchy问题 481

6.3′.6 磁流体动力学 483

6.4 间断性的传播和Cauchy问题 487

6.4.1 引言 487

6.4.2 一阶方程组的一阶导数的间断性．输动方程 487

6.4.3 初始值的间断性．理想函数的引入．前进波 489

6.4.4 一阶方程组的间断性的传播 492

6.4.5 重数不变的特征 494

6.4.5′ 间断性沿高于一维的流形而传播的例子．锥形折射 495

6.4.6 初始间断的分解和Cauchy问题的解 496

6.4.6′ 特征曲面作为波前 498

6.4.7 用收敛的波展开式解Cauchy问题 498

6.4.8 二阶和高阶的方程组 499

6.4.9 补注．弱解．激波 501

6.5 振荡的初始值．解的渐近展开式．向几何光学的过渡 501

6.5.1 前注．高阶前进波 501

6.5.2 渐近解的构造 502

6.5.3 几何光学 505

6.6 初值问题的唯一性定理和依赖区域的例子 507

6.6.1 波动方程 507

6.6.2 微分方程utt-△u+λ/t ut=0（Darboux方程） 509

6.6.3 真空中的Maxwell方程 510

6.7 双曲型问题的依赖区域 512

6.7.1 引言 512

6.7.2 依赖区域的描述 513

6.8 能量积分和一阶线性对称双曲型方程组的唯一性定理 514

6.8.1 能量积分和Cauchy问题的唯一性 514

6.8.2 一阶的和高阶的能量积分 516

6.8.3 混合初边值问题的能量不等式 517

6.8.4 对于单个二阶方程的能量积分 520

6.9 高阶方程的能量估计 522

6.9.1 引言 522

6.9.2 关于高阶双曲型算子的解的能量恒等式和不等式．Leray与 G？rding的方法 522

6.9.3 其他方法 525

6.10 存在定理 527

6.10.1 引言 527

6.10.2 存在定理 528

6.10.3 关于初始值性质的持久性和关于相应的半群的一些注记．Huygens小原理 530

6.10.4 聚焦．可微性非持久的例子 532

6.10.5 关于拟线性方程组的注记 533

6.10.6 关于高阶方程或非对称方程组的注记 533

第二部分 解的表示 534

6.11 引言 534

6.11.1 概述．记号 534

6.11.2 一些积分公式．函数的平面波分解式 535

6.12 常系数二阶方程 539

6.12.1 Cauchy问题 539

6.12.2 波动方程的解的构造 540

6.12.3 降维法 543

6.12.4 解的进一步的讨论Huygens原理 544

6.12.5 非齐次方程．Duhamel积分 547

6.12.6 一般二阶线性方程的Cauchy问题 548

6.12.7 辐射问题 550

6.13 球面平均法．波动方程与Darboux方程 553

6.13.1 关于平均值的Darboux微分方程 553

6.13.2 波动方程的联系 555

6.13.3 波动方程的辐射问题 557

6.13.4 广义前进球面波 558

6.13′ 用球面平均法解弹性波的初值问题 560

6.14 平面平均值法．对于一般常系数双曲型方程的应用 564

6.14.1 一般方法 564

6.14.2 在解波动方程上的应用 567

6.14′ 在晶体光学方程和其他四阶方程上的应用 569

6.14′.1 Cauchy问题的解 569

6.14′.2 解的进一步的讨论．依赖区域．隙窝 573

6.15 Cauchy问题的解作为数据的线性泛函．基本解 576

6.15.1 说明．记号 576

6.15.2 借助于δ函数的分解来构造辐射函数 579

6.15.3 辐射矩阵的正则性 581

6.15.3′ 广义Huygens原理 582

6.15.4 例子．特殊的常系数线性方程组．隙窝定理 583

6.15.5 例子．波动方程 584

6.15.6 例子．关于单个二阶方程的Hadamard的理论 587

6.15.7 进一步的例子．两个自变量．注记 590

6.16 超双曲型微分方程和一般常系数二阶方程 590

6.16.1 Asgeirsson的一般平均值定理 590

6.16.2 平均值定理的别证 593

6.16.3 在波动方程上的应用 594

6.16.4 波动方程的特征初值问题的解 594

6.16.5 其他应用．关于共焦椭球族的平均值定理 596

6.17 对于非类空间初始流形的初值问题 597

6.17.1 由中心在一个平面上的球上的平均值确定的函数 598

6.17.2 在初值问题上的应用 599

6.18 关于前进波的注记，信号的传播和Huygens原理 603

6.18.1 无畸变前进波 603

6.18.2 球面波 605

6.18.3 辐射与Huygens原理 606

第6章附录 广义函数——分布 608

6′.1 基本定义和概念 608

6′.1.1 引言 608

6′.1.2 理想元 608

6′.1.3 记号和定义 609

6′.1.4 叠积分 610

6′.1.5 线性泛函与算子——双一次型 610

6′.1.6 泛函的连续性．试探函数的支集 611

6′.1.7 关于r连续性的引理 612

6′.1.8 几个辅助函数 613

6′.1.9 例 614

6′.2 广义函数 614

6′.2.1 引言 614

6′.2.2 用线性微分算子去定义 615

6′2.3 用弱极限去定义 617

6′.2.4 用线性泛函去定义 618

6′.2.5 等价性．泛函的表示 618

6′.2.6 几个结论 620

6′.2.7 例子．δ函数 620

6′2.8 广义函数与通常函数的等同 622

6′.2.9 定积分．有限部分 623

6′.3 广义函数的演算 625

6′.3.1 线性运算 626

6′.3.2 自变量的代换 626

6′.3.3 例子．δ函数的变换 627

6′3.4 广义函数的相乘与褶积 628

6′.4 补注．理论的修饰 629

6′.4.1 引言 629

6′.4.2 试探函数的它种空间．空间？．Fourier变换 629

6′.4.3 周期函数 631

6′.4.4 广义函数与Hilbert空间．负范数．强定义 632

6′.4.5 关于其他种类的广义函数的注记 633

参考文献 634

英汉名词对照表 656