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第1章 绪论 1

1.1 分数阶微积分的创立与发展简介 1

1.2 几类特殊函数及变换 5

1.2.1 Gamma函数 5

1.2.2 Beta函数 6

1.2.3 Laplace变换 6

1.2.4 Fourier变换 7

1.3 Mittag-Leffler函数及其性质 8

1.3.1 Mittag-Leffler函数定义 8

1.3.2 两参数Mittag-Leffler函数的Laplace变换 9

1.3.3 Mittag-Leffler函数的求导公式 10

习题1 10

第2章 Grünwald-Letnikov型分数阶微积分 12

2.1 G-L型分数阶微积分的定义 12

2.1.1 整数阶导数的差分近似递推 12

2.1.2 G-L意义下整数阶微分与积分的统一形式 13

2.1.3 G-L型分数阶微积分的定义 15

2.2 G-L型分数阶微积分的性质 18

2.3 G-L型分数阶微积分的数学建模 21

2.3.1 一般能量信号的G-L型分数阶微分模型 21

2.3.2 图像增强与去噪的G-L型分数阶微分与积分滤波器构造模型 22

2.3.3 计算时间分数阶导数的G-L定义下的差分模型 24

2.4 G-L型分数阶微积分计算的数学实验 25

习题2 26

第3章 Riemann-Liouville型分数阶微积分 28

3.1 R-L型分数阶微积分的定义与性质 28

3.1.1 左R-L型分数阶微积分 28

3.1.2 左R-L型分数阶微积分算子的性质 35

3.1.3 R-L型分数阶微积分的中值定理 46

3.1.4 右R-L型分数阶微积分的概念 51

3.1.5 常用R-L意义下的左（右）1/2阶导数与1/2阶积分 57

3.2 R-L型分数阶微积分积分变换与广义分数阶导数 59

3.2.1 R-L型分数阶微积分的积分变换 59

3.2.2 广义分数阶导数与R-L型分数阶积分 62

3.3 G-L型与R-L型分数阶微积分之间的关系 63

3.4 R-L型分数阶微积分的物理解释与数学建模及实验 64

3.4.1 R-L型分数阶微积分的一种物理解释 64

3.4.2 控制系统中R-L型分数阶微分模型 65

3.4.3 耳石器官广义分数阶黏弹性动力学模型 66

3.4.4 计算时间分数阶导数的R-L定义下的差分模型 68

3.5 R-L型分数阶微积分计算的数学实验 69

习题3 72

第4章 Caputo型分数阶微积分 74

4.1 Caputo型分数阶导数的定义 74

4.2 Caputo型分数阶导数的性质 77

4.3 G-L型、R-L型分数阶微积分与Caputo型分数阶导数之间的关系 80

4.3.1 G-L型定义与Caputo型定义之间的关系 80

4.3.2 R-L型定义与Caputo型定义之间的关系 81

4.4 Caputo型分数阶导数的数学建模 84

4.4.1 Caputo型分数阶Lagrange函数的Euler-Lagrange数学模型 84

4.4.2 计算时间分数阶导数的Caputo型差分模型 85

4.5 Caputo型分数阶导数计算的数学实验 86

习题4 86

第5章 Weyl型分数阶微积分 88

5.1 Weyl型分数阶微积分的定义 88

5.1.1 速降函数的概念及性质 88

5.1.2 Weyl型分数阶微积分的定义 89

5.2 Weyl型分数阶微积分的性质 90

5.3 Weyl型分数阶微积分的数学建模 93

5.4 Weyl型分数阶微积分计算的数学实验 95

习题5 96

第6章 分数阶微分方程 97

6.1 分数阶微分方程模型 97

6.2 分数阶微分方程的Green函数和Laplace变换求法 101

6.2.1 Laplace变换求解分数阶微分方程 101

6.2.2 序列分数阶导数 102

6.2.3 Green函数法求解分数阶微分方程 103

6.3 分数阶微分方程的初值问题 105

6.3.1 线性R-L型分数阶微分方程的初值问题 105

6.3.2 非线性R-L型分数阶微分方程的初值问题 106

6.3.3 Caputo型分数阶微分方程初值问题 109

6.4 分数阶微分方程的两点边值问题 110

6.4.1 线性分数阶微分方程两点边值问题 110

6.4.2 分数阶非线性微分方程边值问题 113

6.5 分数阶发展方程的初值问题 113

6.5.1 抽象分数阶线性微分方程初值问题 113

6.5.2 抽象分数阶发展方程初值问题 115

习题6 118

第7章 随机分数阶微分方程 120

7.1 随机分析基础 120

7.1.1 Brown运动 120

7.1.2 Ito积分的定义与性质 121

7.1.3 Ito公式 122

7.1.4 停时 122

7.1.5 鞅的概念与性质 123

7.1.6 常用的不等式 123

7.1.7 分数Brown运动及其随机积分 124

7.2 半线性随机分数阶微分方程 128

7.3 随机分数阶积分-微分方程 132

7.4 Hilbert空间中的随机分数阶Volterra方程 137

7.5 随机分数阶振动方程 143

7.6 几类抽象随机分数阶微分方程的适定性 146

7.6.1 Caputo型分数阶随机微分方程 146

7.6.2 带Caputo型分数阶导数的随机分数阶微分方程 149

7.6.3 分数Brown运动驱动的随机微分方程 150

习题7 154

第8章 初值随机化及其应用 155

8.1 随机级数的定义与性质 155

8.1.1 Banach空间中的随机级数 155

8.1.2 Hilbert空间中的随机级数 156

8.1.3 正项随机级数 157

8.2 随机级数的Lp正则性 157

8.3 超临界波方程初值随机化的Cauchy问题 159

8.4 几类非线性发展方程初值随机化的Cauchy问题 174

8.4.1 分数阶不可压Navier-Stokes方程初值随机化的Cauchy问题 174

8.4.2 非线性Schr？dinger方程初值随机化的Cauchy问题 180

习题参考答案 182

参考文献 184