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引言 1

第0章 公式、图和表 3

0.1初等数学中的基本公式 3

0.1.1数学常数 3

0.1.2量角 5

0.1.3平面图形的面积与周长 7

0.1.4立体图形的体积与表面积 10

0.1.5正多面体的体积与表面积 12

0.1.6 n维球的体积与表面积 13

0.1.7平面解析几何学中的基本公式 14

0.1.8空间解析几何学中的基本公式 23

0.1.9幂、根与对数 24

0.1.10初等代数公式 26

0.1.11重要不等式 34

0.1.12在行星运动中的应用——数学在太空中的一次胜利 38

0.2初等函数及其图示 42

0.2.1函数的变换 44

0.2.2线性函数 46

0.2.3二次函数 46

0.2.4幂函数 48

0.2.5欧拉e函数 48

0.2.6对数 50

0.2.7一般指数函数 51

0.2.8正弦与余弦 52

0.2.9正切与余切 58

0.2.10双曲函数sinh x和cosh x 61

0.2.11双曲函数tanh x和coth x 63

0.2.12反三角函数 64

0.2.13反双曲函数 66

0.2.14多项式 68

0.2.15有理函数 69

0.3数学与计算机——数学中的革命 73

0.4数理统计表与标准过程 74

0.4.1测量（试验）序列的最重要的试验数据 74

0.4.2理论分布函数 76

0.4.3正态分布检验 78

0.4.4测量序列的统计计算 79

0.4.5两个测量序列的统计比较 79

0.4.6数理统计中的表 82

0.5特殊函数值表 97

0.5.1 Γ函数Γ（x）和1/Γ（x） 97

0.5.2柱函数（也称贝塞尔函数） 98

0.5.3球函数（勒让德多项式） 102

0.5.4椭圆积分 103

0.5.5积分三角函数与积分指数函数 105

0.5.6菲涅耳积分 107

0.5.7函数∫x o et2 dt 107

0.5.8角度向弧度的转化 108

0.6不大于4000的素数表 109

0.7级数与乘积公式 110

0.7.1特殊级数 110

0.7.2幂级数 113

0.7.3渐近级数 123

0.7.4傅里叶级数 126

0.7.5无穷乘积 131

0.8函数的微分表 132

0.8.1初等函数的微分 132

0.8.2单变量函数的微分法则 134

0.8.3多变量函数的微分法则 136

0.9积分表 138

0.9.1初等函数的积分 138

0.9.2积分法则 140

0.9.3有理函数的积分 143

0.9.4重要代换 144

0.9.5不定积分表 148

0.9.6定积分表 182

0.10积分变换表 187

0.10.1傅里叶变换 187

0.10.2拉普拉斯变换 198

0.10.3 Z变换 210

第1章 分析学 214

1.1初等分析 214

1.1.1实数 214

1.1.2复数 221

1.1.3在振荡上的应用 226

1.1.4对等式的运算 227

1.1.5对不等式的运算 229

1.2序列的极限 231

1.2.1基本思想 231

1.2.2实数的希尔伯特（Hilbert）公理 232

1.2.3实数序列 235

1.2.4序列收敛准则 239

1.3函数的极限 242

1.3.1一个实变量的函数 242

1.3.2度量空间和点集 248

1.3.3多变量函数 253

1.4一个实变量函数的微分法 256

1.4.1导数 256

1.4.2链式法则 258

1.4.3递增函数和递减函数 259

1.4.4反函数 261

1.4.5泰勒定理和函数的局部行为 263

1.4.6复值函数 273

1.5多元实变函数的导数 274

1.5.1偏导数 274

1.5.2弗雷歇导数 276

1.5.3链式法则 279

1.5.4对微分算子的变换的应用 281

1.5.5对函数相关性的应用 284

1.5.6隐函数定理 285

1.5.7逆映射 287

1.5.8 n阶变分与泰勒定理 289

1.5.9在误差估计上的应用 290

1.5.10弗雷歇微分 292

1.6单实变函数的积分 303

1.6.1基本思想 303

1.6.2积分的存在性 308

1.6.3微积分基本定理 309

1.6.4分部积分法 310

1.6.5代换 311

1.6.6无界区间上的积分 313

1.6.7无界函数的积分 314

1.6.8柯西主值 315

1.6.9对弧长的应用 316

1.6.10物理角度的标准推理 317

1.7多实变量函数的积分 318

1.7.1基本思想 318

1.7.2积分的存在性 327

1.7.3积分计算 329

1.7.4卡瓦列里原理（累次积分） 331

1.7.5代换 332

1.7.6微积分基本定理（高斯-斯托克斯定理） 333

1.7.7黎曼曲面测度 340

1.7.8分部积分 342

1.7.9曲线坐标 343

1.7.10应用到质心和惯性中点 346

1.7.11依赖于参数的积分 348

1.8向量代数 349

1.8.1向量的线性组合 349

1.8.2坐标系 350

1.8.3向量的乘法 352

1.9向量分析与物理学领域 354

1.9.1速度和加速度 355

1.9.2梯度、散度和旋度 357

1.9.3在形变上的应用 359

1.9.4哈密顿算子的运算 360

1.9.5功、势能和积分曲线 364

1.9.6对力学的守恒律的应用 365

1.9.7流、守恒律与高斯积分定理 367

1.9.8环量、闭积分曲线与斯托克斯积分定理 369

1.9.9根据源与涡确定向量场（向量分析的主要定理） 370

1.9.10对电磁学中麦克斯韦方程的应用 371

1.9.11经典向量分析与嘉当微分学的关系 373

1.10无穷级数 374

1.10.1收敛准则 375

1.10.2无穷级数的运算 377

1.10.3幂级数 380

1.10.4傅里叶级数 382

1.10.5发散级数求和 386

1.10.6无穷乘积 386

1.11积分变换 388

1.11.1拉普拉斯变换 389

1.11.2傅里叶变换 394

1.11.3 Z变换 399

1.12常微分方程 403

1.12.1引导性的例子 404

1.12.2基本概念 412

1.12.3微分方程的分类 421

1.12.4初等解法 431

1.12.5应用 447

1.12.6线性微分方程组和传播子 451

1.12.7稳定性 455

1.12.8边值问题和格林函数 457

1.12.9一般理论 462

1.13偏微分方程 466

1.13.1数学物理中的一阶方程 467

1.13.2二阶数学物理方程 494

1.13.3特征的作用 510

1.13.4关于唯一性的一般原理 519

1.13.5一般的存在性结果 521

1.14复变函数 530

1.14.1基本思想 531

1.14.2复数列 532

1.14.3微分 533

1.14.4积分 535

1.14.5微分式的语言 538

1.14.6函数的表示 541

1.14.7留数计算与积分计算 547

1.14.8映射度 549

1.14.9在代数基本定理上的应用 550

1.14.10双全纯映射和黎曼映射定理 552

1.14.11共形映射的例子 553

1.14.12对调和函数的应用 561

1.14.13在流体动力学上的应用 564

1.14.14在静电学和静磁学上的应用 567

1.14.15解析延拓与恒等原理 568

1.14.16在欧拉伽马函数上的应用 571

1.14.17椭圆函数和椭圆积分 572

1.14.18模形式与P函数的反演问题 580

1.14.19椭圆积分 582

1.14.20奇异微分方程 590

1.14.21在高斯超几何微分方程上的应用 592

1.14.22在贝塞尔微分方程上的应用 592

1.14.23多复变函数 594

第2章 代数学 597

2.1初等代数 597

2.1.1组合学 597

2.1.2行列式 600

2.1.3矩阵 604

2.1.4线性方程组 609

2.1.5多项式的计算 614

2.1.6代数学基本定理（根据高斯的观点） 616

2.1.7部分分式分解 623

2.2矩阵 625

2.2.1矩阵的谱 625

2.2.2矩阵的正规形式 627

2.2.3矩阵函数 634

2.3线性代数 636

2.3.1基本思想 636

2.3.2线性空间 637

2.3.3线性算子 640

2.3.4线性空间的计算 644

2.3.5对偶性 648

2.4多线性代数 649

2.4.1代数 650

2.4.2多线性型的计算 650

2.4.3泛积 656

2.4.4李代数 661

2.4.5超代数 662

2.5代数结构 662

2.5.1群 663

2.5.2环 669

2.5.3域 671

2.6伽罗瓦理论和代数方程 674

2.6.1三个著名古代问题 674

2.6.2伽罗瓦理论的主要定理 675

2.6.3广义代数学基本定理 678

2.6.4域扩张的分类 679

2.6.5根式可解方程的主定理 680

2.6.6尺规作图 681

2.7数论 684

2.7.1基本思想 685

2.7.2欧几里得算法 686

2.7.3素数分布 689

2.7.4加性分解 695

2.7.5用有理数及连分数逼近无理数 698

2.7.6超越数 703

2.7.7对数π的应用 706

2.7.8高斯同余式 710

2.7.9闵可夫斯基数的几何 713

2.7.10数论中局部-整体基本原理 714

2.7.11理想和因子理论 715

2.7.12对二次数域的应用 717

2.7.13解析类数公式 720

2.7.14一般数域的希尔伯特类域论 720

第3章 几何学 722

3.1由克莱因的埃尔兰根纲领所概括的几何学的基本思想 722

3.2初等几何学 723

3.2.1平面三角学 723

3.2.2对大地测量学的应用 731

3.2.3球面几何学 734

3.2.4对于海上和空中旅行的应用 738

3.2.5几何的希尔伯特公理 740

3.2.6欧几里得平行公理 744

3.2.7非欧椭圆几何学 744

3.2.8非欧双曲几何学 745

3.3向量代数在解析几何学中的应用 747

3.3.1平面中的直线 748

3.3.2空间中的直线和平面 750

3.3.3体积 751

3.4欧氏几何学（运动的几何学） 752

3.4.1欧几里得运动群 752

3.4.2圆锥截线 753

3.4.3二次曲面 755

3.5射影几何学 759

3.5.1基本思想 759

3.5.2射影映射 761

3.5.3 n维实射影空间 762

3.5.4 n维复射影空间 763

3.5.5平面几何学的分类 764

3.6微分几何学 767

3.6.1平面曲线 768

3.6.2空间曲线 774

3.6.3高斯的曲面局部理论 777

3.6.4高斯的曲面整体理论 786

3.7平面曲线的例子 787

3.7.1包络线和焦散线 787

3.7.2渐屈线 788

3.7.3渐伸线 789

3.7.4惠更斯的曳物线和悬链线 790

3.7.5伯努利双纽线和卡西尼卵形线 791

3.7.6利萨如图形 792

3.7.7螺线 792

3.7.8射线曲线（蚌线） 793

3.7.9旋轮线 795

3.8代数几何学 799

3.8.1基本思想 799

3.8.2平面曲线的例子 807

3.8.3对积分计算的应用 811

3.8.4平面代数曲线的射影复形式 813

3.8.5曲线的亏格 817

3.8.6丢番图几何 820

3.8.7解析集和魏尔斯特拉斯预备定理 827

3.8.8奇点分解 828

3.8.9现代代数几何的代数化 829

3.9现代物理的几何 835

3.9.1基本思想 836

3.9.2酉几何、希尔伯特空间和基本粒子 838

3.9.3伪酉几何 845

3.9.4闵可夫斯基几何 849

3.9.5对狭义相对论的应用 853

3.9.6旋量几何和费米子 859

3.9.7近复结构 868

3.9.8辛几何 868

第4章 数学基础 871

4.1数学的语言 871

4.1.1真命题和假命题 871

4.1.2蕴涵 872

4.1.3重言律和逻辑定律 874

4.2证明的方法 876

4.2.1间接证明 876

4.2.2归纳法证明 877

4.2.3唯一性证明 877

4.2.4存在性证明 878

4.2.5计算机时代证明的必要性 879

4.2.6不正确的证明 881

4.3朴素集合论 883

4.3.1基本概念 883

4.3.2集合的运算 884

4.3.3映射 888

4.3.4集合的等势 891

4.3.5关系 892

4.3.6集系 894

4.4数理逻辑 895

4.4.1命题逻辑 896

4.4.2谓词逻辑 899

4.4.3集合论的公理 900

4.4.4康托尔的无穷结构 902

4.5公理方法及其与哲学认识论之关系的历史 905

第5章 变分法与最优化 908

5.1单变量函数的变分法 908

5.1.1欧拉-伯努利方程 908

5.1.2应用 912

5.1.3哈密顿方程 918

5.1.4应用 923

5.1.5局部极小值的充分条件 926

5.1.6带约束问题和拉格朗日乘子 929

5.1.7应用 930

5.1.8自然边界条件 933

5.2多变量函数的变分法 934

5.2.1欧拉-拉格朗日方程 934

5.2.2应用 934

5.2.3带约束的问题和拉格朗日乘子 938

5.3控制问题 938

5.3.1贝尔曼动态最优化 939

5.3.2应用 940

5.3.3庞特里亚金极大值原理 942

5.3.4应用 943

5.4经典非线性最优化 945

5.4.1局部极小化问题 945

5.4.2全局极小化问题和凸性 946

5.4.3对于高斯最小二乘法的应用 946

5.4.4对于伪逆的应用 947

5.4.5带约束的问题和拉格朗日乘子 947

5.4.6对熵的应用 949

5.4.7次微分 950

5.4.8对偶理论和鞍点 951

5.5线性最优化 952

5.5.1基本思想 952

5.5.2一般线性最优化问题 954

5.5.3最优化问题的标准形式和最小试验 957

5.5.4单形法 957

5.5.5最小试验 958

5.5.6标准形式的获得 961

5.5.7线性最优化中的对偶性 962

5.5.8单形法的修改 963

5.6线性最优化的应用 963

5.6.1容量利用问题 963

5.6.2混合问题 964

5.6.3资源或产品的分配问题 964

5.6.4设计问题和轮班计划 965

5.6.5线性运输问题 966

第6章 随机演算——机会的数学 974

6.1基本的随机性 976

6.1.1古典概型 976

6.1.2伯努利大数定律 978

6.1.3棣莫弗极限定理 979

6.1.4高斯正态分布 980

6.1.5相关系数 983

6.1.6在经典统计物理学中的应用 986

6.2科尔莫戈罗夫的概率论公理化基础 988

6.2.1事件与概率的计算 991

6.2.2随机变量 995

6.2.3随机向量 1001

6.2.4极限定理 1005

6.2.5应用于独立重复试验的伯努利模型 1007

6.3数理统计 1016

6.3.1基本思想 1016

6.3.2重要的估计量 1018

6.3.3正态分布测量值的研究 1019

6.3.4经验分布函数 1022

6.3.5参数估计的最大似然方法 1028

6.3.6多元分析 1030

6.4随机过程 1032

6.4.1时间序列 1034

6.4.2马尔可夫链与随机矩阵 1040

6.4.3泊松过程 1042

6.4.4布朗运动与扩散 1043

6.4.5关于一般随机过程的科尔莫戈罗夫主定理 1047

第7章 计算数学与科学计算 1050

7.1数值计算和误差分析 1051

7.1.1算法的概念 1051

7.1.2在计算机上表示数 1051

7.1.3误差来源，发现误差，条件和稳定性 1053

7.2线性代数 1055

7.2.1线性方程组——直接法 1055

7.2.2线性方程组的迭代法 1063

7.2.3特征值问题 1066

7.2.4拟合和最小二乘法 1070

7.3插值，数值微分和积分 1076

7.3.1插值多项式 1076

7.3.2数值微分 1085

7.3.3数值积分 1086

7.4非线性问题 1093

7.4.1非线性方程 1093

7.4.2非线性方程组 1094

7.4.3确定多项式零点 1098

7.5数值逼近 1102

7.5.1二次平均逼近 1103

7.5.2一致逼近 1107

7.5.3近似一致逼近 1108

7.6常微分方程 1109

7.6.1初值问题 1109

7.6.2边值问题 1118

7.7偏微分方程与科学计算 1121

7.7.1基本思想 1121

7.7.2离散方法概述 1122

7.7.3椭圆型微分方程 1127

7.7.4抛物微分方程 1138

7.7.5双曲微分方程 1142

7.7.6自适应离散方法 1149

7.7.7方程组的迭代解 1151

7.7.8边界元方法 1163

7.7.9调和分析 1165

7.7.10反问题 1176

数学历史概要 1179

参考文献 1207

数学符号 1241

基本物理量纲 1245

基本物理常数 1247

SI词头构成表 1251

希腊字母表 1252

人名译名对照表 1253

索引 1279