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第一章　经典解法 1

1　二阶线性偏微分方程及其定解问题 1

1.1　典型的二阶线性偏微分方程 1

1.2　定解问题 3

1.3　解的空间与定解问题的适定性 5

2　分离变量法 6

2.1　第一初边值问题 6

2.2　第二初边值问题 17

2.3　第三初边值问题 21

2.4 Poisson方程的边值问题 26

3　行波法 30

3.1　齐次波动方程Cauchy问题 30

3.2　非齐次波动方程Cauchy问题 34

4　其他解法 39

4.1　幂级数解法 39

4.2　相似解解法 43

习题 46

第二章　Fourier变换方法与广义函数初步 51

1　基本空间 51

1.1　连续函数空间 51

1.2　E（R），D（R）和y（R）空间 56

2　速降函数空间上的Fourier变换方法 58

2.1　y（R）上Fourier变换的定义与性质 58

2.2　在速降函数空间中求解热传导方程 64

2.3　在缓增函数空间中求解热传导方程 65

3 Lp空间与磨光算子 68

3.1 Lp空间 68

3.2　磨光算子及其基本性质 70

3.3 Lp函数的光滑逼近 73

3.4　变分学基本引理 75

4　广义函数 77

4.1 广义函数的定义 77

4.2 广义函数的判定 78

4.3 广义函数的运算 80

4.4　广义函数的极限 81

4.5 广义函数的磨光 81

4.6　局部可积函数的广义导数及其基本性质 83

4.7　广义函数的广义导数 88

5　广义函数空间上的Fourier变换方法 91

5.1　y′（R）上Fourier变换的定义与性质 91

5.2 y′（R）上的Fourier变换方法 95

6　y（RN）与y′（RN）上的Fourier变换 104

6.1　y（RN）上Fourier变换的定义与性质 104

6.2　y′（RN）上Fourier变换的定义与性质 106

6.3　求解高维偏微分方程定解问题的Fourier变换方法 107

习题 110

第三章　L2理论 112

1 H？lder空间和H1空间 112

1.1 H？lder空间 112

1.2 H1空间 115

1.3　一维H1空间的性质 117

2 Poisson方程的L2理论 121

2.1　弱解的定义 121

2.2　与弱解相应的泛函的极值元 123

2.3　泛函极值元的存在性 124

2.4　弱解的存在唯一性 126

2.5　弱解的正则性 127

3 Laplace方程的基本解和Green函数及其应用 133

3.1 Laplace方程的基本解 134

3.2 Green函数及其基本性质 137

3.3 Green函数的存在性 139

3.4 Green函数法 140

4　热传导方程的L2理论和基本解理论 144

4.1　热传导方程的L2理论 144

4.2　热传导方程的基本解 153

习题 160

第四章　古典解的性质 162

1 Poisson方程 162

1.1　弱极值原理 162

1.2　强极值原理 167

1.3　能量估计 170

2　热传导方程 172

2.1　极值原理 172

2.2　能量估计 178

3　弦振动方程 179

3.1　有界区间上的初边值问题 180

3.2　实数轴上的初值问题 183

3.3 半实数轴上的初边值问题 186

习题 187

参考文献 192