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第一章 矩阵的运算及其初等变换 1

1.1 矩阵的概念 1

一、矩阵的概念 1

二、几种特殊的矩阵 4

习题1.1 5

1.2 矩阵的运算 6

一、矩阵的加法 6

二、数乘矩阵 7

三、矩阵的乘法 7

四、方阵的幂 11

五、矩阵的转置 12

六、共轭矩阵 14

习题1.2 14

1.3 矩阵分块法 16

一、矩阵的分块 16

二、分块运算 17

三、按行分块与按列分块 19

习题1.3 20

1.4 矩阵的初等变换 21

一、初等变换 21

二、初等矩阵 24

习题1.4 28

1.5 应用问题及软件求解 29

一、航线连接问题 29

二、矩阵在通信网络中的应用 31

三、模糊矩阵及其应用 32

习题1.5 35

复习题一 36

第二章 行列式与逆矩阵 38

2.1 n阶行列式 38

一、二阶和三阶行列式 38

二、n阶行列式的定义 41

习题2.1 44

2.2 行列式的性质 44

一、行列式的性质 44

二、利用性质计算行列式 48

习题2.2 53

2.3 行列式按行（列）展开 54

一、行列式按行（列）展开公式 54

二、代数余子式的性质 57

习题2.3 58

2.4 克莱姆法则 59

一、克莱姆法则 59

二、齐次线性方程组有非零解的条件 63

习题2.4 64

2.5 逆矩阵 64

一、逆矩阵的概念 64

二、可逆矩阵的判定及其求法 65

三、用初等变换法求解矩阵方程 72

习题2.5 75

2.6 矩阵的秩 76

一、矩阵秩的概念 76

二、利用初等变换求矩阵的秩 78

习题2.6 81

2.7 线性方程组的高斯消元法 82

一、高斯消元法 82

二、线性方程组有解的判定定理 84

习题2.7 89

2.8 应用问题及软件求解 90

一、行列式应用模型 90

二、逆矩阵在密码学中的应用 92

三、投入产出模型 93

习题2.8 96

复习题二 96

第三章 几何向量 平面与直线 99

3.1 几何向量及其线性运算 99

一、几何向量的概念及其表示 99

二、几何向量的线性运算 100

习题3.1 103

3.2 几何向量的投影及坐标表示 103

一、几何向量的投影及其性质 103

二、空间直角坐标系与点的坐标 105

三、几何向量在坐标轴上的分量与向量的坐标 107

四、几何向量的模、方向角和方向余弦 110

习题3.2 112

3.3 几何向量的数量积、向量积、混合积 112

一、数量积 112

二、向量积 115

三、混合积 117

习题3.3 119

3.4 空间的平面和直线 120

一、平面方程 120

二、空间直线的方程 124

三、与直线、平面有关的一些问题 128

习题3.4 131

3.5 应用问题及软件求解 132

一、视图制作中的矩阵代数法 132

二、经济管理模型中常见的一些函数 136

三、线性规划问题的数学模型 139

习题3.5 144

复习题三 144

第四章 n维向量与线性方程组 147

4.1 n维向量 147

一、n维向量的定义 147

二、向量的运算 148

三、向量空间及其子空间 150

习题4.1 151

4.2 向量组的线性相关性 151

一、向量组的线性组合 151

二、向量组的线性相关性 155

三、线性组合与线性相关的关系 158

习题4.2 160

4.3 向量组的秩 161

一、向量组的极大线性无关组 161

二、向量组的秩 162

三、向量组的秩与矩阵的秩的关系 164

习题4.3 167

4.4 齐次线性方程组解的结构 168

一、向量空间的基、维数与坐标 168

二、基变换与坐标变换 170

三、齐次线性方程组的解空间 172

四、齐次线性方程组的基础解系 173

习题4.4 179

4.5 非齐次线性方程组解的结构 180

一、非齐次线性方程组解的性质 181

二、非齐次线性方程组解的结构 181

三、直线、平面的相对位置 186

习题4.5 189

4.6 应用问题及软件求解 190

一、信号流图模型 190

二、向量组的线性相关性在魔方中的应用 192

三、情报检索模型 194

习题4.6 196

复习题四 196

第五章 特征值与特征向量 199

5.1 n维向量的内积 199

一、内积 199

二、标准正交基与施密特（Schmidt）方法 202

三、正交矩阵和正交变换 205

习题5.1 207

5.2 矩阵的特征值与特征向量 208

一、特征值与特征向量的概念 208

二、特征值与特征向量的计算 209

习题5.2 213

5.3 相似矩阵 213

一、相似矩阵的基本概念 213

二、矩阵的相似对角化 215

习题5.3 216

5.4 实对称矩阵的对角化 217

一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 217

二、实对称矩阵的对角化 217

习题5.4 220

5.5 应用问题及软件求解 221

一、人口流动模型 221

二、最小二乘问题 222

习题5.5 226

复习题五 227

第六章 二次型与二次曲面 230

6.1 二次型及其标准形 230

一、二次型及其矩阵 230

二、二次型的标准形 233

习题6.1 237

6.2 正定二次型 238

一、正定二次型的概念 238

二、正定二次型的判定 238

习题6.2 242

6.3 二次曲面 242

一、球面 243

二、柱面 244

三、锥面 245

四、旋转面 247

五、空间曲线 249

六、几类特殊的二次曲面 252

习题6.3 257

6.4 应用问题及软件求解 257

一、二次型在二次曲面研究中的应用 257

二、正交变换化二次型为标准形的图形 263

三、最优公共工作计划问题 266

习题6.4 267

复习题六 267

附录 MATLAB软件简介 269

习题参考答案 281