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第一篇 实变函数第一章 集合 5

1 集合的表示 5

2 集合的运算 7

3 对等与基数 15

4 可数集合 19

5 不可数集合 24

第一章习题 29

第二章 点集 31

1 度量空间，n维欧氏空间 32

2 聚点，内点，界点 35

3 开集，闭集，完备集 38

4 直线上的开集、闭集及完备集的构造 43

5 康托尔三分集 45

第二章习题 51

第三章 测度论 53

1 外测度 56

2 可测集 59

3 可测集类 67

4 不可测集 71

第三章习题 74

第四章 可测函数 76

1 可测函数及其性质 76

2 叶果洛夫（ЕΓоров）定理 84

3 可测函数的构造 86

4 依测度收敛 89

第四章习题 94

第五章 积分论 97

1 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介 97

2 非负简单函数的勒贝格积分 100

3 非负可测函数的勒贝格积分 102

4 一般可测函数的勒贝格积分 108

5 黎曼积分和勒贝格积分 119

6 勒贝格积分的几何意义·富比尼（Fubini）定理 123

第五章习题 132

第六章 微分与不定积分 137

1 维它利（Vitali）定理 139

2 单调函数的可微性 141

3 有界变差函数 148

4 不定积分 155

5 勒贝格积分的分部积分和变量替换 162

6 斯蒂尔切斯（Stieltjes）积分 169

7 L-S测度与积分 175

第六章习题 178

第二篇 泛函分析第七章 度量空间和赋范线性空间 183

1 度量空间的进一步例子 183

2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 186

3 连续映射 191

4 柯西（Cauchy）点列和完备度量空间 192

5 度量空间的完备化 197

6 压缩映射原理及其应用 201

7 线性空间 205

8 赋范线性空间和巴拿赫（Banach）空间 209

第七章习题 217

第八章 有界线性算子和连续线性泛函 221

1 有界线性算子和连续线性泛函 221

2 有界线性算子空间和共轭空间 229

3 广义函数 235

第八章习题 238

第九章 内积空间和希尔伯特（Hilbert）空间 240

1 内积空间的基本概念 240

2 投影定理 244

3 希尔伯特空间中的规范正交系 249

4 希尔伯特空间上的连续线性泛函 258

5 自伴算子、酉算子和正常算子 262

第九章习题 266

第十章 巴拿赫空间中的基本定理 269

1 泛函延拓定理 270

2 C[a，b]的共轭空间 276

3 共轭算子 279

4 纲定理和一致有界性定理 281

5 强收敛、弱收敛和一致收敛 287

6 逆算子定理 290

7 闭图像定理 294

第十章习题 295

第十一章 线性算子的谱 299

1 谱的概念 299

2 有界线性算子谱的基本性质 303

3 紧集和全连续算子 305

4 自伴全连续算子的谱论 310

5 具对称核的积分方程 317

第十一章习题 320

附录一 内测度，L测度的另一定义 323

附录二 半序集和佐恩引理 326

附录三 实变函数增补例题 330

参考书目 347