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第一章 复数 1

第一节 复数的概念 1

1.1复数及其表示法 1

目录 1

1.2复数的运算及几何意义 6

习题1.1 16

第二节 平面的点集及区域 17

习题1.2 23

3.1序列的极限 24

第三节 序列与级数 24

3.2矩形套定理列紧性定理覆盖定理 28

3.3复数球面无穷远点 31

3.4复数项级数 33

习题1.3 38

第一章小结 39

第一章复习讨论题 40

1.1复变函数的概念 43

第二章 解析函数 43

第一节 复变函数 43

1.2复变函数的极限与连续 45

习题2.1 53

第二节 解析函数的概念 53

2.1复变函数的导数 53

2.2解析函数及其性质 56

习题2.2 60

第三节 柯西-黎曼方程 60

习题2.3 68

第四节 初等解析函数 68

习题2.4 80

第五节 调和函数 80

习题2.5 85

第二章小结 86

第二章复习讨论题 86

第一节 复变函数的积分 90

1.1复变函数积分的概念 90

第三章 解析函数的积分理论 90

1.2复变函数积分的基本性质 96

习题3.1 97

第二节 解析函数的柯西定理 98

习题3.2 110

第三节 原函数与不定积分 110

习题3.3 116

第四节 解析函数的柯西公式 116

4.1柯西公式 116

4.2高阶导数 122

习题3.4 128

第五节 解析函数的最大模原理 129

习题3.5 133

第三章小结 134

第三章复习讨论题 135

第一节 函数项级数及其基本性质 138

1.1函数项级数的收敛及一致收敛性 138

第四章 解析函数的级数展开 138

1.2幂级数 148

习题4.1 156

第二节 解析函数的泰勒级数展开 157

2.1圆内解析函数的泰勒级数展开 157

2.2施瓦兹公式及波阿松公式 167

2.3零点的孤立性及唯一性定理 171

习题4.2 175

3.1环内解析函数的罗朗展开 177

第三节 解析函数的罗朗展开式 177

3.2解析函数在无穷远点的邻域中的展开 182

习题4.3 183

第四节 孤立奇点的分类及其性质 184

4.1有限点的情况 184

4.2无穷远点的情况 193

习题4.4 196

第五节 整函数与亚纯函数的概念与性质 197

5.1整函数的概念与性质 197

5.2亚纯函数的概念与性质 202

第四章小结 204

习题4.5 204

第四章复习讨论题 206

第五章 留数理论及其应用 210

第一节 留数定理及留数的求法 210

1.1留数的概念 210

1.2留数定理 213

1.3留数的求法 215

习题5.1 219

第二节 利用解析函数的理论求定积分 220

习题5.2 237

第三节 幅角原理及其应用 238

习题5.3 246

第五章小结 246

第五章复习讨论题 247

第六章 解析开拓 249

第一节 解析开拓的概念与方法 249

1.1解析开拓的概念 249

1.2解析开拓的具体方法 256

习题6.1 266

第二节 完全解析函数与黎曼曲面 267

2.1完全解析函数的概念 267

2.2黎曼曲面的概念 272

习题6.2 282

第三节 利用多值函数进行积分计算 282

习题6.3 292

第六章复习讨论题 293

第六章小结 293

第七章 解析函数的几何理论 295

第一节 保形变换的概念及性质 295

1.1解析函数所构成的变换 295

1.2保形变换 300

习题7.1 305

第二节 分式线性变换 306

2.1分式线性变换在全平面上实现单叶保形变换 306

2.2分式线性变换的分解 309

2.3三对对应点唯一地决定分式线性变换 312

2.4分式线性变换的保圆性 314

2.5分式线性变换保持对称点的不变性 320

2.6几个典型的分式线性变换 323

习题7.2 332

第三节 茹科夫斯基变换 333

习题7.3 341

第四节 几个初等函数实现的变换 342

4.1幂函数与根式函数实现的变换 342

4.2指数函数与对数函数实现的变换 345

4.3三角函数与反三角函数实现的变换 348

习题7.4 356

第五节 利用对称原理及边界对应定理进行单叶保形变换 357

5.1利用对称原理进行单叶保形变换 357

5.2利用边界对应定理进行单叶保形变换 361

习题7.5 368

第六节 上半平面到多角形的保形变换 368

习题7.6 384

第七节 黎曼存在及唯一性定理 385

第七章 小结 392

习题7.7 392

第七章 复习讨论题 393

第八章 拉普拉斯变换初步 397

第一节 含有参变量的积分 397

第二节 拉普拉斯变换的概念 401

习题8.2 405

第三节 拉普拉斯变换的性质 405

习题8.3 416

第四节 拉普拉斯变换的逆变换 416

第五节 拉普拉斯变换公式表 432

习题8.4 432

习题8.5 437

第六节 拉普拉斯变换在解微分方程中的应用 437

6.1用拉普拉斯变换解常微分方程 437

6.2用拉普拉斯变换解偏微分方程 443

习题8.6 444

第八章小结 445

第八章复习讨论题 446

第九章 解析函数在流体力学上的应用不可压缩流体平面稳定流动 447