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历史回顾 1

0 可和族（点集拓扑学复习） 3

Ⅰ Hilbert空间 5

1.1 半双线性型 5

1.2 Hermite型 7

1.3 准Hilbert空间 8

1.4 内积空间 11

1.5 范数，距离，内积空间上的拓扑 13

1.6 Hilbert空间 16

1.7 标准正交族 19

1.8 Hilbert维数 24

1.9 Hilbert空间的Hilbert和 26

1.10 一个内积空间的完备化 29

Ⅱ Hilbert空间上的连续线性算子 31

2.1 连续线性算子的一般性质 31

2.2 关于连续线性算子的若干定理 37

2.3 连续线性泛函 40

2.4 连续半双线性型 46

2.5 共轭 48

2.6 双连续线性算子 52

2.7 特征值 54

2.8 谱，豫解式 55

2.9 线性算子的强收敛和弱收敛 59

Ⅲ 特殊的线性算子类 62

3.1 正常算子 62

3.2 Hermite算子 64

3.3 Hermite算子之间的序 66

3.4 投影 69

3.5 恒等映射的分解 73

3.6 等距算子 76

3.7 部分等距算子 78

Ⅳ 紧算子 80

4.1 紧算子 80

4.2 Hilbert-Schmidt算子 82

4.3 正常紧算子的谱分解 86

4.4 对积分方程的应用 87

Ⅴ 连续Hermite算子的谱分解 91

5.1 连续函数演算 91

5.2 应用：连续线性算子的极分解 96

5.3 函数演算的推广 97

5.4 Hermite算子的谱分解 100

5.5 正常算子的谱分解 105

5.6 酉算子的谱分解 109

5.7 正常算子和乘法算子 111

Ⅵ （无界）线性算子 113

6.1 概述 113

6.2 算子的共轭 116

6.3 闭算子 119

6.4 闭算子的谱 123

6.5 自共轭算子 125

Ⅶ 自共轭线性算子的谱分解 128

7.1 一个有界函数关于一个恒等映射分解的积分 128

7.2 一个无界函数关于一个恒等映射分解的积分 135

7.3 自共轭算子的谱分解 139

7.4 闭算子的极分解 143

7.5 单参数酉算子群 144

7.6 应用：Bochner定理 150

7.7 量子力学的语言 152

Ⅷ 对称算子 156

8.1 对称算子的定义 156

8.2 亏指数 157

8.3 在矩问题上的应用 162

8.4 对一些微分算子的应用 163

参考文献 172

主要记号 173

译后记 174

名词索引 177