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第1章 Sobolev空间 1

1.1 Sobolev空间的引入 1

1.2 稠密定理 14

1.3 延拓定理 18

1.4 迹的启示与Hadamard例 22

1.5 常用等式与不等式 25

1.6 迹定理 34

1.7 嵌入定理及其新进展 40

1.8 紧性定理 60

第2章 本征值问题与Cheng-Li-Yau估计技巧 63

2.1 本征值问题的一般性质 63

2.2 Pólya猜想与本征值问题简史 66

2.3 H？rmander引理及其改进 67

2.4 Li-Yau对于λ1估计的小改进 73

2.5 CLY技巧在间断系数的本征值问题中的应用 75

2.6 柔性结构控制产生的新型本征值问题 80

2.7 有关Fourier分析的注记 83

2.8 有关CLY估计技巧的注记与取材 87

第3章 变分形式与可解性 90

3.1 L-M引理与2m阶椭圆算子在Hm（Ω）中的可解性 90

3.2 二阶椭圆算子在H2（Ω）中的可解性 107

3.3 变分不等方程与可解性 112

3.4 单调算子理论 125

3.5 临界点、形变引理、山路定理和临界值的分类 132

第4章 变分形式中的渐近分析 143

4.1 “硬”问题在变分形式中的渐近展开 143

4.2 椭圆边界层问题的一般收敛定理 157

4.3 Tartar的边界层形态分析与Lions的公开问题 167

4.4 ？的改进与四阶方程的边界层形态分析 173

4.5 渐近分析的Poincaré定义与Lions定义 192

4.6 边界层形态的另一描述 197

4.7 突变点、渐变与突变 203

第5章 HUM、Haraux引理与镇定性 212

5.1 能量摄动方法简介 212

5.2 乘子引理与可控性 218

5.3 Haraux引理 231

5.4 波方程的镇定性 236

5.5 波方程第三边值问题的精确可控性及其近似 247

5.6 乘子方法在椭圆方程中的应用 253

第6章 几何与相对论中的变分问题 259

6.1 曲率变分实例 259

6.2 Riemann几何初步与Rik-1/2gikR=0（n=2） 261

6.3 测地线与质点运动的变分表述 268

6.4 数量曲率的变分δ？RG1/2dU 274

6.5 场方程的建立、Einstein的物理直觉和Hilbert的变分论证 285

6.6 经典检验、奇点困惑和他山之石 290

6.7 本章小结 298

参考文献 300