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第一章 行列式 1

1 n阶行列式 1

1.1数域 1

1.2二阶、三阶行列式的结构 2

1.3 n阶行列式 5

2行列式的性质和计算 9

2.1行列的互换性质 9

2.2数乘行列式的性质 11

2.3行列式的加法性质 12

2.4行列式的计算举例 14

3展开定理 20

3.1按行展开定理 20

3.2 Laplace定理 25

4 Cramer定理 29

4.1 Cramer定理 29

4.2应用例子 31

第二章 线性方程组 34

1 n维向量的线性关系 34

1.1 n维向量及其线性计算 34

1.2向量的线性相关与线性无关 35

1.3矩阵和矩阵的秩 40

1.4向量组线性相关、线性无关的判别定理 43

1.5最大线性无关向量组 47

2矩阵的初等变换 51

2.1矩阵的行初等变换 51

2.2矩阵的初等变换 53

2.3在初等变换下矩阵的标准形 53

3齐次线性方程组 63

3.1同解方程组的概念及其命题 63

3.2关于齐次线性方程组的命题 66

3.3解的结构定理 70

4非齐次线性方程组 77

4.1有解的充要条件 77

4.2非齐次线性方程组的解 79

4.3解的结构定理 82

第三章 矩阵及其在初等变换下的标准形 91

1矩阵的运算 91

1.1矩阵的线性运算 91

1.2矩阵的乘法 93

1.3行列式的乘法规则 96

1.4矩阵的运算与矩阵的秩 98

2逆矩阵 102

2.1逆矩阵及其求法 103

2.2逆矩阵的基本性质 106

2.3用初等变换求逆矩阵的方法 108

3分块矩阵 114

3.1分块矩阵的概念 114

3.2分块矩阵的乘法 116

3.3分块初等矩阵 118

3.4分块矩阵法的应用举例 119

4几种特殊的矩阵 123

4.1对角形矩阵和三角形矩阵 123

4.2对称矩阵和反对称矩阵 127

4.3正交矩阵 129

5在初等变换下矩阵的标准形 132

5.1标准形 132

5.2标准形的用法 133

第四章 对称矩阵在合同变换下的标准形与二次型 136

1实对称矩阵在合同变换下的标准形 136

1.1例子 136

1.2矩阵间的合同关系及其性质 139

1.3对称矩阵在合同变换下的标准形 139

1.4求合同变换矩阵P的方法 143

1.5惯性定律与实对称矩阵在合同变换下的标准形 145

2化二次型为平方和的方法 153

2.1二次型 153

2.2二次型的矩阵表示 155

2.3在满秩线性变换下化二次型为平方和 156

2.4用配方方法化二次型为平方和 158

3实二次型的分类和判别 162

3.1惯性定律和二次型的标准形 162

3.2二次型的分类和判别 164

3.3（半）正定、（半）负定和不定矩阵 171

第五章 方阵的相似标准形及其应用 174

1矩阵的特征值与特征向量 174

1.1矩阵的特征值与特征向量 174

1.3特征值和特征向量的一些性质 178

1.4 Schmidt正交化方法 182

2在相似变换下化方阵为对角形矩阵的条件 187

2.1相似矩阵及其性质 187

2.2相似对角形矩阵的主对角元素和相似变换矩阵 188

2.3在相似变换下方阵化为对角形矩阵的条件 189

3在相似变换下方阵的标准形 202

3.1实对称矩阵的标准形 202

3.2正交矩阵的标准形 210

3.3与方阵相似的上三角形矩阵 215

4相似变换下方阵标准形的应用 220

4.1在解决综合性问题方面的应用 220

4.2在解常系数齐次线性方程组方面的应用 223

第六章 矩阵的Jordan标准形 232

1 λ-矩阵及其在等价变换下的标准形 232

1.1 λ-矩阵的概念 232

1.2 λ-矩阵的等价关系 234

1.3 λ-矩阵的等价对角形矩阵 235

1.4行列式因子与λ-矩阵的标准形 239

2 λ-矩阵等价、方阵相似的充要条件 243

2.1 λ-矩阵可逆、λ-矩阵等价的充要条件 243

2.2初等因子与λ-矩阵等价的充要条件 244

2.3初等因子的求法 246

2.4矩阵相似的充要条件 252

3矩阵的Jordan标准形 255

3.1矩阵的Jordan标准形 255

3.2矩阵的有理标准形 261

3.3相似变换矩阵的求法 264

4 Hamilton-Cayley定理及其应用 268

4.1 Hamilton-Cayley定理 268

4.2最小多项式及其求法 270

4.3矩阵与对角形矩阵相似的充要条件 274

第七章 线性空间和线性变换 276

1线性空间 276

1.1线性空间的概念 276

1.2线性空间的一些简单性质 277

1.3子空间的概念及其判别 279

2有限维线性空间 284

2.1有限维线性空间的维数和基底 284

2.2子空间的基底和维数 288

2.3坐标和坐标变换 290

2.4线性空间中的同构关系 294

3线性空间上的线性变换 298

3.1线性变换及其基本性质 298

3.2象子空间和核 301

3.3线性变换的运算 304

4线性变换与矩阵的对应 308

4.1线性变换与矩阵的对应 308

4.2线性变换对应的矩阵随基底的变化 314

4.3线性变换的特征值与特征向量 316

第八章 内积空间 323

1实内积空间 323

1.1实内积空间的定义及其基本性质 323

1.2度量矩阵 325

1.3 Cauchy-Schwartz不等式 327

1.4正交子空间 328

2标准正交基底 331

2.1标准正交基底 331

2.2标准正交基下的度量关系 332

3正交变换 335

3.1正交变换 335

3.2正交变换的判别和运算 336

3.3正交变换的几何意义 339

4复内积空间 342

4.1复内积空间 342

4.2度量矩阵和厄密矩阵 343

4.3长度和角度 344

4.4标准正交基底 344

4.5酉交变换和酉交矩阵 345

答案与提示 346