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第○章 预备知识 1

0.1连加、连乘与数学归纳法 1

一、连加号Σ 1

二、连乘号Π 2

三、数学归纳法 3

习题0.1 4

0.2映射、变换 4

习题0.2 7

0.3等价关系、群与域的概念 7

一、等价关系 7

二、代数系统 8

三、群的概念 8

四、域的概念、数域 9

习题0.3 10

0.4整数的算术 10

一、Z上的带余除法 10

二、最大公因子 11

三、算术基本定理 13

习题0.4 13

第一章 矩阵及其初等变换 14

1.1矩阵及其运算 14

一、矩阵的概念 14

二、矩阵的线性运算 16

三、矩阵的乘法 19

四、矩阵的转置 25

习题1.1 28

1.2 Gauss消元法与矩阵的初等变换 30

一、Gauss消元法 31

二、矩阵的初等变换 33

三、初等矩阵 38

习题1.2 42

1.3逆矩阵 43

一、逆矩阵的概念与性质 43

二、用行初等变换求逆矩阵 46

习题1.3 51

1.4分块矩阵 53

习题1.4 59

复习题一 60

第二章 行列式 64

2.1 n阶行列式的定义 64

习题2.1 69

2.2行列式的性质与计算 69

一、行列式的性质 69

二、行列式的计算 74

三、方阵乘积的行列式 80

习题2.2 82

2.3 Laplace展开定理 84

习题2.3 87

2.4分块矩阵的初等变换 88

习题2.4 91

2.5矩阵的逆与行列式 91

习题2.5 96

2.6矩阵的秩 97

一、矩阵秩的概念 97

二、矩阵秩的计算 98

三、矩阵秩的性质 101

习题2.6 104

复习题二 105

第三章n维向量空间 108

3.1 n维向量空间的概念 108

一、n维向量空间的概念 108

二、Pn的子空间 111

习题3.1 113

3.2向量组的线性相关性 114

一、向量组的线性组合 114

二、向量组的线性相关性 117

习题3.2 124

3.3向量组的秩与极大无关组 125

一、向量组的秩与极大无关组的概念 125

二、Fn的基、维数与坐标 130

习题3.3 130

3.4线性方程组解的结构 131

一、齐次线性方程组 131

二、非齐次线性方程组 138

习题3.4 145

复习题三 147

第四章 多项式 151

4.1一元多项式 151

一、一元多项式 151

二、多项式的运算 151

三、一元多项式函数 153

习题4.1 154

4.2带余除法与整除关系 155

一、带余除法 155

二、整除的性质 156

习题4.2 157

4.3多项式的最大公因式 158

一、多项式的最大公因式 158

二、多项式互素 161

习题4.3 163

4.4因式分解定理 164

一、不可约多项式 164

二、因式分解定理 166

习题4.4 167

4.5重因式 168

习题4.5 170

4.6.多项式的根与重根 170

习题4.6 173

4.7复系数与实系数多项式的因式分解 173

习题4.7 175

4.8有理系数多项式 176

一、本原多项式 176

二、整系数多项式的有理根 178

三、有理数域上不可约多项式的判别方法 179

习题4.8 180

4.9多元多项式 181

习题4.9 184

4.10对称多项式 185

习题4.10 188

复习题四 188

第五章 线性空间 189

5.1线性空间的定义与性质 189

一、线性空间的定义 189

二、线性空间的简单性质 190

习题5.1 191

5.2线性空间的同构 191

习题5.2 195

5.3基变换与坐标变换 196

习题5.3 201

5.4线性子空间的交与和 202

一、线性子空间的性质 202

二、子空间的交 203

三、子空间的和 204

习题5.4 207

5.5线性子空间的直和 208

习题5.5 212

复习题五 212

第六章 线性变换 214

6.1线性映射 214

一、线性映射的概念 214

二、线性映射的性质 215

三、线性映射在基下的矩阵 217

四、线性映射的运算 218

习题6.1 221

6.2线性变换 222

一、定义与性质 222

二、可逆线性映射 223

三、线性变换的运算与矩阵 224

四、线性变换在不同基下矩阵的关系 227

习题6.2 227

6.3线性映射的像与核 228

习题6.3 231

6.4特征值与特征向量 233

一、方阵与线性变换的特征值 233

二、特征值与特征向量的计算 234

三、Hamilton-Cayley定理 241

习题6.4 242

6.5相似对角化 243

一、问题的提出 243

二、矩阵的相似 244

三、矩阵的相似对角化 246

习题6.5 254

6.6不变子空间 255

一、？-不变子空间 255

二、？-子空间分解 257

三、广义特征子空间分解 258

习题6.6 259

6.7对偶空间 260

一、对偶空间 260

二、二重对偶 261

习题6.7 262

复习题六 262

第七章Jordan标准形与λ-矩阵 265

7.1最小多项式 265

习题7.1 270

7.2 Jordan-Chevalley分解 271

一、幂零与半单 271

二、中国剩余定理 272

三、Jordan -Chevalley分解 274

习题7.2 277

7.3循环不变子空间与Jordan标准形 278

一、循环不变子空间 278

二、幂零线性变换的Jordan标准形 280

三、复线性空间上一般线性变换的Jordan标准形 281

习题7.3 282

7.4 λ-矩阵 283

一、λ-矩阵的定义及其基本性质 283

二、λ-矩阵的相抵标准形 284

三、相抵标准形的惟一性 287

习题7.4 289

7.5矩阵相似性的判定与有理标准形 290

一、方阵的相似与λ-矩阵的相抵 290

二、矩阵的有理标准形 292

习题7.5 294

7.6初等因子与Jordan标准形 295

一、初等因子 295

二、初等因子组的计算 296

三、Jordan标准形 298

四、Jordan标准形的应用举例 299

习题7.6 301

复习题七 302

第八章 欧氏空间 304

8.1内积与欧氏空间 304

一、定义与实例 304

二、Cauchy不等式 305

三、度量矩阵 307

习题8.1 309

8.2标准正交基 310

一、标准正交基 310

二、Gram-Schmidt正交化 311

三、正交矩阵 313

四、欧氏空间上的同构 315

习题8.2 316

8.3正交变换与正交补 317

一、正交变换 317

二、正交补 319

三、内射影与最小二乘解 320

习题8.3 321

8.4实对称矩阵的标准形 322

一、实对称矩阵 322

二、对称变换 323

习题8.4 327

8.5酉空间简介 328

复习题八 329

第九章 二次型与双线性函数 331

9.1二次型 331

一、二次型的定义 331

二、可逆线性替换 332

习题9.1 333

9.2标准形与规范形 334

一、配方法 334

二、规范形及其惟一性 337

习题9.2 340

9.3正定二次型 341

一、正交线性替换化实二次型为标准形 341

二、正定二次型与正定矩阵 343

三、正定矩阵与欧氏空间的度量矩阵 346

四、负定、半正定、半负定与不定二次型 347

习题9.3 348

9.4双线性函数 349

一、双线性函数 349

二、非退化双线性函数 351

三、对称与反称双线性函数 351

习题9.4 354

复习题九 355

习题答案 356