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第一章 初等数论 1

一、自然数 1

1.进位制 1

2.质数·算术基本定理 4

3.最小公倍数与最大公约数 7

4.自然数的约数 12

5.平方数与两个平方数的和 14

6.勾股数 18

二、整数 21

1.奇数与偶数 21

2.整数分解式 23

3.整除性 25

4.带余除法·辗转相除法 28

5.同余式 33

6.剩余类·费马小定理 36

三、高斯函数 40

1.函数性质 40

2.一个重要应用 45

四、抽屉原理 48

1.抽屉原理及其各种形式 48

2.解题应用 49

练习一 58

测验题一 62

第二章 解析式 66

一、多项式 66

1.多项式、余式定理与因式定理 66

2.综合除法 69

3.多项式的可约性 70

4.对称多项式 72

5.k次等幂和 75

二、解析式恒等变换 77

1.公式与应用 78

2.方法与技巧 81

练习二 89

测验题二 92

第三章 方程与不等式 96

一、一元n次方程 96

1.代数基本定理与韦达定理 96

2.拉格朗日公式 98

3.方程的变换 101

4.根的性质 104

二、不定方程 110

1.一次不定方程 110

2.不定方程解法 112

三、不等式证明 118

1.几个重要不等式及其应用 118

2.不等式证明方法 128

练习三 137

测验题三 143

第四章 平面几何与立体几何 147

一、平面几何证题 147

1.几个重要定理及应用 147

2.综合法证题 158

3.几何变换 163

二、几何不等式 174

1.基本几何不等式 174

2.几何不等式问题解法 178

三、立体几何 189

1.一些特殊方法 189

2.几个立体几何问题 195

练习四 203

测验题四 209

第五章 函数与数列 213

一、初等函数 213

1.函数极值 213

2.函数方程 218

3.凸函数 221

二、特殊数列 224

1.循环数列 224

2.递推式 231

练习五 238

测验题五 241

第六章 复数与向量 246

一、复数 246

1.n次单位根 246

2.复数解题应用 249

二、向量 259

1.向量的基础知识 259

2.向量在几何问题中的应用 266

练习六 271

测验题六 274

第七章 解析几何 279

一、圆锥曲线的切法线 279

1.几种切法线方程 279

2.切点弦方程 284

3.光学性质的应用 286

二、解析几何问题解法 288

1.正确选择坐标系及点的坐标 288

2.建立适当的曲线方程 292

3.灵活运用方程性质 301

4.注意运用几何性质 306

练习七 308

测验题七 311

第八章 点集、覆盖与图 316

一、点集 316

1.凸集与凸包 316

2.格点与格点多边形 322

二、覆盖 329

1.覆盖问题 329

2.最小覆盖图形 332

3.平面嵌入 336

三、图 338

1.简单图 338

2.链、圈、树 342

3.哈密尔顿圈与欧拉圈 345

4.平面图与欧拉公式 349

5.拉姆赛型问题 352

练习八 355

测验题八 358

第九章初等组合论 361

一、组合数计算 361

二、几种排列与组合 367

1.有重复的排列 367

2.不尽相异元素的全排列 367

3.有重复的组合 369

4.有限重复组合 373

5.环状排列 375

6.错位排列 377

三、计数原理 380

1.配对原理 380

2.容斥原理 384

3.反射原理 388

4.建立递推关系 391

四、初等组合问题 394

1.初等组合问题讨论 394

2.典型的组合问题 399

练习九 405

测验题九 408

第十章 数学竞赛问题解法 412

一、解法讨论 412

1.数学归纳法 412

2.反证法 416

3.考虑极端情况 419

4.考虑奇偶或剩余 421

5.考虑进位制 423

6.变换命题形式 425

7.构造法 432

8.逐步调整法 440

9.倒推与夹逼 442

二、综合试题 445

附录 练习、测验题、综合试题答案及参考解答 451