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专题一 物理量的量纲分析 1

第一章 理论基础 3

1.物理量的量纲（初步知识） 3

1.1.测量、测量单位、测量过程 3

1.2.基本单位和导出单位 3

1.3.相互关联和相互独立的单位 4

2.物理量的量纲公式 4

2.1.当基本单位的大小变化时物理量的数值的变化 4

2.2.关于同型物理量的测量值之比的不变性假设 5

2.3.物理量在给定基底下的量纲函数和量纲公式 6

3.量纲理论的基本定理 8

3.1. Ⅱ-定理 8

3.2.相似原理 10

第二章 应用实例 11

1.物体沿圆形轨道运动的回转周期（相似律） 11

2.引力常数，开普勒第三定律和牛顿万有引力定律中的幂指数 12

3.重力摆的振动周期 13

4.溢流堰的体积流量和质量流量 14

5.球在无黏介质中运动时受到的阻力 15

6.球在黏性介质中运动时受到的阻力 16

7.练习 17

8.评注 20

第三章 进一步的应用：流体动力学和湍流 22

1.流体动力学方程组（一般知识） 22

2.流动失稳以及动力系统中的分岔现象 25

3.湍流（初步认识） 26

4.柯尔莫戈洛夫模型 26

4.1.湍流运动的多尺度性 26

4.2.充分发展湍流与惯性区 28

4.3.比能 28

4.4.给定尺度流动的雷诺数 29

4.5.柯尔莫戈洛夫——奥布霍夫定律 29

4.6.湍流的内尺度 30

4.7.湍流涨落的能谱 30

4.8.湍流混合与粒子分散 31

专题二 高维几何和自变量极多的函数 33

第一章 自变量极多的函数在自然科学和技术领域中的例子 35

1.信号的数字记录（代码-脉冲调制） 35

1.1.线性装置及其数学描述（卷积） 35

1.2.线性装置的傅里叶对偶（谱）描述 36

1.3.具有限谱集的函数和装置 37

1.4.理想滤波器及其脉冲响应函数 38

1.5.读数定理（科捷利尼科夫—香农定理） 39

1.6.信号的编码—脉冲调制 40

1.7.理想通信通道的通过能力 40

1.8.电视信号的维数的估计 41

2.涉及多参数现象和高维空间的其他研究领域 41

2.1.物质的分子理论 41

2.2.经典哈密顿力学中的相空间 42

2.3.吉布斯热力学系综 42

2.4.概率论 42

第二章 集聚原理及其表现 43

1.欧几里得空间Rn（n＞＞1）中的球和球面 43

1.1.当n→∞时球体积的集聚 43

1.2.热力学极限 43

1.3.球面面积的集聚 44

1.4.等周不等式及极高维球面上的函数 47

2.一些评注 49

2.1.各种中值 49

2.2.高维方体与集聚原理 50

2.3.集聚原理、热力学、遍历性 51

2.4.集聚原理和极限分布 52

第三章 存在噪声情况下的通信 53

1.连续信号的离散记法—具体化 53

1.1.信号的能量和平均强度 53

1.2.按水平量子化 55

1.3.理想的多水平通信管道 55

1.4.噪声（白噪声） 56

2.具噪声的通信管道的通过能力 56

2.1.具噪声的通信管道的通过能力的粗略估计 56

2.2.信号的几何和噪声 57

2.3.香农定理 58

3.香农定理的讨论、例子和补充 60

3.1.香农的评述 60

3.2.强噪声下的弱信号 61

3.3.语言冗余 62

3.4.用粗糙仪器作精细的测量 62

3.5.香农-法诺码 63

3.6.最优码的统计特点 63

3.7.编码和解码——ε-熵和δ-容量 64

4.具噪声的通信管道的数学模型 66

4.1.最简单的模型和问题的提法 66

4.2.信息和熵（初步研究） 68

4.3.条件熵和信息 70

4.4.对具噪声的通信管道内的信息丢失的解释 73

4.5.抽象通信管道的通过能力的计算 74

专题三 经典热力学与接触几何学 77

第一章 经典热力学（基本知识） 79

1.两个热力学定律 79

1.1.能量和永动机 79

1.2.第二类永动机和熵 80

2.两个热力学定律的数学表述 81

2.1.热交换的微分形式 83

2.2.用微分形式语言表示的两个热力学定律 84

2.3.没有热的热力学 86

2.4.绝热过程和卡拉泰奥多里公理 86

第二章 热力学和接触几何 89

1.接触分布 89

1.1.绝热过程和接触分布 89

1.2.形式化 90

2.分布的可积性 90

2.1.弗罗贝尼乌斯定理 90

2.2.可积性、可连接性、可控性 91

2.3.卡诺-卡拉泰奥多里度量 93

2.4.吉布斯接触形式 94

2.5.注释 95

第三章 经典热力学和统计热力学 97

1.动理学理论 97

1.1.分子与压强 97

1.2.麦克斯韦分布 98

1.3.玻尔兹曼定义的熵 98

1.4.吉布斯系综和力学的热力学化 99

1.5.遍历性 100

1.6.悖论、问题、困难 102

2.量子统计热力学（三言两语） 105

2.1.状态的计算和条件极值 105

2.2.注释和补充 108

参考文献 116

附录 数学语言和数学方法 136