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第7章 微分方程 1

7.1微分方程的基本概念 1

7.1.1微分方程举例 1

7.1.2基本概念 3

7.1.3一阶微分方程的几何解释 4

习题7.1 5

7.2一阶微分方程 5

7.2.1一阶可分离变量方程 6

7.2.2一阶齐次微分方程 7

7.2.3一阶线性微分方程 9

7.2.4伯努利方程 12

7.2.5其他可化为一阶线性微分方程的例子 13

习题7.2 15

7.3可降阶的二阶微分方程 16

习题7.3 19

7.4高阶线性微分方程 20

7.4.1高阶线性微分方程举例 20

7.4.2线性微分方程解的结构 22

习题7.4 25

7.5高阶常系数线性方程 26

7.5.1高阶常系数齐次线性方程 26

7.5.2高阶常系数非齐次线性方程 29

习题7.5 35

7.6*欧拉微分方程 36

习题7.6 37

7.7微分方程的应用 37

习题7.7 41

第8章 向量与空间解析几何 43

8.1平面向量和空间向量 43

8.1.1向量 43

8.1.2向量的运算 44

8.1.3平面向量 46

8.1.4直角坐标系 48

8.1.5空间中的向量 50

习题8.1 53

8.2向量的乘积 54

8.2.1两个向量的数量积 54

8.2.2两个向量的向量积 58

8.2.3向量的三元数量积 61

8.2.4向量乘积的应用 64

习题8.2 66

8.3平面和空间直线 67

8.3.1平面方程 68

8.3.2空间直线的方程 71

习题8.3 76

8.4曲面和空间曲线 78

8.4.1柱面 78

8.4.2锥面 81

8.4.3旋转曲面 81

8.4.4二次曲面 83

8.4.5空间曲线 88

8.4.6柱面坐标系 91

8.4.7球面坐标系 92

习题8.4 93

第9章 多元函数的微分 96

9.1多元函数的定义及其基本性质 96

9.1.1 R 2和R ？空间 96

9.1.2多元函数 102

9.1.3函数的可视化 103

9.1.4多元函数的极限和连续 106

习题9.1 112

9.2多元函数的偏导数及全微分 113

9.2.1偏导数 114

9.2.2全微分 117

9.2.3高阶偏导数 124

9.2.4方向导数和梯度 126

习题9.2 133

9.3多元复合函数及隐函数的微分 135

9.3.1多元复合函数的偏导数和全微分 135

9.3.2隐函数的微分 141

9.3.3方程组确定的隐函数的微分 142

习题9.3 145

第10章 多元函数的应用 148

10.1利用全微分来近似计算函数值 148

习题10.1 150

10.2多元函数的极值 150

10.2.1无条件极值 151

10.2.2全局最大值点和全局最小值点 153

10.2.3最小二乘法 156

10.2.4条件极值 157

10.2.5拉格朗日乘子法 159

习题10.2 161

10.3几何应用 162

10.3.1曲线的弧长 162

10.3.2曲线的切线与法平面 165

10.3.3曲面的切平面和法线 169

10.3.4*曲面的曲率 173

习题10.3 174

综合练习 177

第11章 重积分 178

11.1二重积分的概念和性质 178

11.1.1二重积分的概念 178

11.1.2二重积分的性质 181

习题11.1 182

11.2二重积分的计算 183

11.2.1二重积分的几何意义 183

11.2.2直角坐标系下的二重积分 184

11.2.3极坐标系下的二重积分 190

11.2.4*二重积分的一般换元法 196

习题11.2 201

11.3三重积分 205

11.3.1三重积分的概念和性质 205

11.3.2直角坐标系下的三重积分 206

11.3.3柱坐标与球面坐标下的三重积分 210

11.3.4*三重积分的一般换元换元法 217

习题11.3 218

11.4重积分的应用 222

11.4.1曲面面积 222

11.4.2重心 225

11.4.3转动惯量 226

习题11.4 227

第12章 曲线积分与曲面积分 228

12.1线积分 228

12.1.1对弧长的曲线积分 228

12.1.2对坐标的曲线积分 233

12.1.3两类曲线积分的联系 237

习题12.1 238

12.2格林公式及其应用 241

12.2.1格林公式 241

12.2.2曲线积分与路径无关的条件 246

习题12.2 253

12.3曲面积分 256

12.3.1对面积的曲面积分 256

12.3.2对坐标的曲面积分 260

习题12.3 266

12.4高斯公式 269

习题12.4 273

12.5斯托克斯公式及其应用 274

12.5.1斯托克斯公式 274

12.5.2*空间曲线积分与路径无关的条件 277

习题12.5 278

参考文献 280