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第一章 函数与极限 1

第一节 实数集 1

1.1.1 集合与映射 1

1.1.2 实数概念 4

1.1.3 实数的序·不等式 6

1.1.4 绝对值·区间·数集的界 9

习题1.1 11

第二节 一元函数 15

1.2.1 一元函数概念 15

1.2.2 反函数·复合函数 19

1.2.3 函数的基本特性 21

1.2.4 初等函数 25

1.2.5 双曲函数 28

习题1.2 29

第三节 极限 32

1.3.1 数列极限与基本性质 32

1.3.2 函数的极限 39

1.3.3 无穷小量 46

1.3.4 极限的运算法则 49

1.3.5 极限的存在准则·基本极限 53

1.3.6 无穷小量的比较 63

习题1.3 66

第四节 连续函数 69

1.4.1 连续函数概念 69

1.4.2 连续函数的运算法则 72

1.4.3 连续函数的性质·一致连续性 79

习题1.4 84

第二章 导数与微分 87

第一节 导数 87

2.1.1 导数的定义 87

2.1.2 求导法则·基本导数公式 93

2.1.3 高阶导数 103

2.1.4 参数方程所确定函数的导数 105

习题2.1 109

第二节 微分 112

2.2.1 微分概念 112

2.2.2 微分的应用 116

习题2.2 118

第三节 中值定理 119

2.3.1 微分中值定理 119

2.3.2 洛必达法则 124

2.3.3 泰勒公式 131

习题2.3 137

第四节 导数的应用 140

2.4.1 函数的单调性与极值 140

2.4.2 函数的凹凸性与拐点 149

2.4.3 渐近线与函数的作图 153

2.4.4 方程的近似解 159

习题2.4 162

第三章 一元函数积分学 165

第一节 不定积分 165

3.1.1 不定积分概念·基本积分表 165

3.1.2 换元积分法 170

3.1.3 分部积分法 176

3.1.4 有理函数的积分 180

3.1.5 三角函数有理式的积分 186

3.1.6 简单无理函数的积分 188

习题3.1 191

第二节 定积分 194

3.2.1 定积分概念 194

3.2.2 函数的可积性 199

3.2.3 定积分的性质·积分中值定理 202

3.2.4 牛顿-莱布尼兹公式 208

3.2.5 定积分的换元积分与分部积分 213

3.2.6 定积分的近似计算 219

习题3.2 224

第三节 定积分的应用 227

3.3.1 定积分的微元法 227

3.3.2 定积分在几何上的应用 230

1．平面图形的面积 230

2．立体体积 233

3．弧长与弧微分 235

4．旋转面的面积 239

5．曲率 241

3.3.3 定积分在物理上的应用 245

1．质心 245

2．功与引力 249

3．转动惯量 250

习题3.3 251

第四章 级数 256

第一节 常数项级数 256

4.1.1 基本概念与性质 256

4.1.2 正项级数 260

4.1.3 任意项级数 269

习题4.1 278

第二节 函数项级数 281

4.2.1 函数项级数与一致收敛性 281

4.2.2 一致收敛级数的性质 288

习题4.2 292

第三节 幂级数 292

4.3.1 幂级数概念 292

4.3.2 幂级数的运算 296

4.3.3 函数的幂级数展式 302

4.3.4 幂级数的应用 310

习题4.3 312

第四节 傅里叶级数 315

4.4.1 三角函数系的正交性与傅里叶级数 315

4.4.2 函数的傅里叶级数展开 317

1．傅里叶级数收敛的充分条件 317

2．函数展开为正弦或余弦级数 320

3．任意有限区间上的傅里叶级数 322

4．傅里叶级数的复数形式 326

4.4.3 均方差与贝塞耳不等式 329

习题4.4 332

习题答案与提示 333