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第1章 引论 1

1.1 基本概念 1

1.2 等斜线 5

1.3 附注 8

1.3.1 常数消去法 8

1.3.2 奇解 8

习题 10

第2章 一阶微分方程 11

2.1 引言 11

2.2 分离变量方程 12

2.3 一阶线性微分方程 19

2.3.1 齐次线性方程 19

2.3.2 非齐次线性方程 20

2.3.3 两类特殊的方程 22

2.4 常数变易法 24

2.5 全微分方程 26

2.6 积分因子方法 29

习题 32

第3章 二阶线性微分方程 35

3.1 引言 35

3.2 常系数的二阶线性微分方程 35

3.2.1 特征方程有两个不同实根 38

3.2.2 特征方程有复特征根 38

3.2.2 特征方程有相等实根 40

3.3 齐次线性方程 41

3.3.1 欧拉方程 43

3.3.2 具有不变式的方程（即I(x)＝常数） 44

3.4 非齐次线性方程 46

3.5 常数变易法 47

3.6 待定系数法 49

3.7 拉普拉斯变换方法 53

3.8 高阶方程 55

习题 59

第4章 线性微分方程组 63

4.1 引言 63

4.1.1 齐次线性微分方程组 65

4.1.2 非齐次线性微分方程组 68

4.2 常系数齐次线性微分方程组 69

4.2.1 n个不同的实特征根 70

4.2.2 复特征根 72

4.2.3 重特征根 74

4.3 常系数非齐次线性方程组 78

习题 80

第5章 解的存在唯一性定理 85

5.1 引言 85

5.2 解的存在唯一性定理 86

5.3 解的存在性证明 87

5.4 解的唯一性证明 90

5.5 附注 92

5.5.1 解的延拓 92

5.5.2 解对初值和参数的连续依赖性 94

5.5.3 高阶微分方程解的存在唯一性 96

习题 97

第6章 定性理论初步 99

6.1 引言 99

6.2 平面自治系统 100

6.2.1 平衡解及其性质 101

6.2.2 平衡解的分类 102

6.3 平衡解的稳定性 110

6.4 李雅普诺夫函数 113

6.5 稳定性定理 114

习题 124

第7章 数值解方法 129

7.1 一阶微分方程的数值解方法 129

7.1.1 增量方程方法 129

7.1.2 迭代逼近方法 130

7.1.3 泰勒定理方法 131

7.1.4 龙格-库塔方法 132

7.1.5 欧拉方法 133

7.1.6 改进的欧拉方法 134

7.2 二阶微分方程的数值解方法 134

7.2.1 幂级数解 135

7.2.2 常点和奇点 135

7.2.3 正则奇点 139

附录A 非线性一阶微分方程 142

A1 形如y=f（x,y′）的方程 142

A2 形如y=f（y′）的方程 144

A3 形如x=f（y,y′）的方程 144

附录B 非线性二阶微分方程 147

B1 形如F(x,y′,y″)=0的方程 147

B2 形如F(y,y′,y″)=0的方程 148

附录C 特殊函数 150

C1 伽马函数 150

C2 贝塞尔函数 151

参考文献 152