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第一部分 解三次和四次多项式方程的故事 3

第一章 一次和二次方程的求解 3

1.1一次方程的求解与数集的扩张 3

1.2二次方程的求解与根式可解 3

第二章 求解三次方程的故事 5

2.1波洛那的费尔洛 5

2.2菲俄与塔尔塔里亚 6

2.3卡丹与费拉里 7

第三章 三次方程和四次方程的根式求解 9

3.1三次方程的根式求解 9

3.2赫德方法的数学背景 10

3.3四次方程的根式求解 11

第二部分 向五次方程进军 15

第四章 有关方程的一些理论 15

4.1韦达与根和系数的关系 15

4.2牛顿与牛顿定理 16

4.3欧拉与复数 18

4.4 1的根 18

第五章 范德蒙与他的“根的对称式表达”方法 20

5.1范德蒙与范德蒙方法 20

5.2用范德蒙方法解三次方程 21

第六章 拉格朗日与他的预解式方法 23

6.1拉格朗日与他的预解式 23

6.2用拉格朗日方法解三次方程 24

6.3用拉格朗日方法解四次方程 24

6.4 n=5时的情况 25

第七章 高斯与代数基本定理 27

7.1高斯与代数基本定理 27

7.2分圆方程与它的根式求解 27

7.3开方运算的多值性与卡丹公式 28

第八章 鲁菲尼、阿贝尔与伽罗瓦 30

8.1被人遗忘的鲁菲尼 30

8.2死于贫穷的阿贝尔 30

8.3死于愚蠢的伽罗瓦 31

第三部分 一些数学基础 35

第九章 集合与映射 35

9.1集合论中的一些基本概念 35

9.2集合间的映射 35

9.3集合A中的变换 36

9.4关系、等价关系与分类 37

9.5整数集合Z与同余关系 38

9.6算术基本定理与欧拉函数？（n） 38

第十章 群论基础 40

10.1群的定义 40

10.2群与对称性 41

10.3对称群Sn 41

10.4子群与陪集 42

10.5正规子群与商群 43

10.6循环群与n次本原根 44

10.7单群 45

10.8群的同态映射与同构映射 46

第十一章 数与代数系 48

11.1自然数集N作为可换半群及其可数性 48

11.2整数集合Z与整环 48

11.3域与有理数域Q 49

11.4实数域R的不可数性 50

11.5复数域C与子域 50

第十二章 域上的向量空间 52

12.1向量空间的定义 52

12.2向量空间的一些基础理论 52

12.3数域作为向量空间 53

第十三章 域上的多项式 54

13.1一些基本事项 54

13.2多项式的可约性与艾森斯坦定理 54

13.3关于三次方程根的一些定理 55

第四部分 扩域理论 59

第十四章 有限扩域 59

14.1扩域作为向量空间 59

14.2维数公式 59

第十五章 代数数与超越数 61

15.1代数元与代数数 61

15.2代数数集A是可数的 62

15.3超越数的存在 62

15.4代数扩域 63

第十六章 单代数扩域 64

16.1最小多项式 64

16.2单代数扩域 64

16.3单代数扩域的性质 65

16.4添加2个代数元的情况 66

16.5有限个代数元的添加与单扩域 67

16.6代数数集A是域 67

16.7 m型纯扩域与根式塔 68

第五部分 尺规作图问题 71

第十七章 尺规作图概述 71

17.1尺规作图的出发点、操作公理与作图法则 71

17.2最大可作数域K 72

17.3 Q的可作扩域 72

第十八章 尺规不可作问题 74

18.1存在不可作数 74

18.2立方倍积、三等分任意角与化圆为方 75

第十九章正n边形的尺规作图 76

19.1把正n边形的可作性归结为一些简单的情况 76

19.2有关Pvjj边形的两个域列 77

19.3分圆多项式 78

19.4数Pvjj应满足的必要条件 79

19.5对具有p=2m+1形式的奇素数的讨论 79

19.6费马数 79

19.7作出正n边形的“充要条件” 80

第六部分 两类重要的群与一类重要的扩域 83

第二十章 对称群Sn 83

20.1循环与对换 83

20.2置换的奇偶性 84

20.3 Sn中元素的对称类与其对换乘积表示 85

20.4交代群An的性质 85

20.5 A5是单群 86

20.6可迁群 87

第二十一章 可解群 89

21.1可解群的定义 89

21.2可解群的性质 89

21.3 n≥5时，Sn是不可解群 90

第二十二章 正规扩域 92

22.1多项式的基域与根域 92

22.2正规扩域 93

22.3正规扩域的性质 93

第七部分 伽罗瓦理论 97

第二十三章 从域得到群 97

23.1域E的自同构群 97

23.2 E作为F扩域时的一类特殊自同构群 98

23.3正规扩域时的伽罗瓦群 98

23.4伽罗瓦群的一些重要性质 99

23.5域F上方程的伽罗瓦群 99

23.6域F上的一般的n次多项式方程 101

第二十四章 伽罗瓦理论的基本定理 102

24.1 伽罗瓦对应 102

24.2伽罗瓦理论的基本定理 103

第八部分 伽罗瓦理论的应用 109

第二十五章 多项式方程的根式可解问题 109

25.1一些特殊的伽罗瓦群 109

25.2根式可解的数学含义 110

25.3根式扩域与根式可解的精确数学定义 110

25.4循环扩域与拉格朗日预解式 111

25.5多项式方程根式可解的必要条件 113

25.6 2x5-10x+5=0不可根式求解 115

25.7多项式方程根式可解的充分条件 116

25.8用伽罗瓦理论解三次方程 118

第二十六章 三次实系数不可约方程有3个实根时的“不可简化情况” 120

26.1从判别式看根的情况 120

26.2不可简化情况 120

26.3根域的表达 120

26.4 xp-a=0， a ∈R型方程 121

26.5实根要通过复数得到 122

第二十七章正n边形尺规作图的充分条件 124

27.1正n边形尺规作图必要条件的回顾与充分条件的提出 124

27.2 p群的一个定理 124

27.3正n边形尺规作图的充分条件 125

27.4作正17边形的高斯方法 125

27.5从伽罗瓦理论看正17边形的尺规作图 127

第二十八章 对称多项式的牛顿定理 129

28.1一个引理 129

28.2牛顿定理 129

附录 133

附录1关于两个正整数最大公因数的一个关系式 133

附录2多项式方程的重根问题 134

附录3计算三次方程的判别式D 136

参考文献 137