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第一章 矩阵与行列式 1

1.0预备知识 1

1.0.1集合 1

1.0.2数集 3

1.0.3数域 4

1.0.4求和号Σ 5

1.1线性型和矩阵概念的引入 7

1.1.1矩阵的定义 7

1.1.2常用矩阵 8

1.2矩阵的运算 10

1.2.1矩阵的线性运算 10

1.2.2矩阵的乘法 14

1.2.3方阵的幂与方阵多项式 20

1.2.4方阵的迹 23

1.3方阵的行列式 24

1.3.1 2阶和3阶行列式 24

1.3.2排列 28

1.3.3 n阶行列式的定义 29

1.4行列式的基本性质 33

1.4.1行列式的转置 33

1.4.2行列式的行线性性和列线性性 34

1.4.3行列式的初等变换 35

1.4.4行列式的按行（列）展开 39

1.4.5 Laplace定理 43

1.5行列式的计算 52

1.5.1三角化 52

1.5.2降阶法与镶边法 55

1.5.3归纳与递推 60

1.6可逆矩阵 65

1.6.1可逆矩阵 65

1.6.2逆矩阵的求法 69

1.6.3 Cramer法则 71

1.7分块矩阵 76

1.7.1矩阵的分块 77

1.7.2分块矩阵的运算 79

1.7.3分块对角矩阵 83

习题一 86

第二章 线性方程组理论 101

2.1矩阵的相抵标准形 101

2.1.1初等矩阵和矩阵的初等变换 101

2.1.2矩阵的秩 111

2.1.3矩阵的相抵标准形 114

2.1.4求逆矩阵的初等变换法 116

2.2分块矩阵的初等变换 119

2.2.1分块矩阵的初等变换 119

2.2.2分块初等矩阵 120

2.2.3行列式和矩阵计算中的分块技巧 123

2.3解线性方程组的消元法 126

2.3.1线性方程组的矩阵形式 126

2.3.2线性方程组的初等变换 128

2.3.3线性方程组的相容性 132

2.4向量空间Kn 135

2.4.1向量空间Kn及其运算性质 135

2.4.2线性子空间 136

2.5向量组的秩 139

2.5.1线性组合·线性方程组的向量形式 139

2.5.2线性相关与线性无关 144

2.5.3极大线性无关组·向量组的秩 149

2.5.4向量组的秩与矩阵的秩 151

2.6线性方程组解的结构 154

2.6.1齐次线性方程组的解空间 154

2.6.2非齐次线性方程组解的结构 159

习题二 164

第三章 相似矩阵 182

3.1方阵的特征值与特征向量 182

3.1.1方阵的特征值与特征向量 182

3.1.2特征值与特征向量的求法 184

3.1.3特征值的性质 188

3.1.4特征向量的性质 194

3.2矩阵的相似变换 196

3.2.1矩阵相似的概念 196

3.2.2相似矩阵的性质 198

3.3矩阵相似于对角矩阵的条件 201

3.3.1矩阵相似于对角矩阵的条件 201

3.3.2特征值的代数重数和几何重数 207

3.3.3方阵的Jordan标准形 215

3.4方阵的最小多项式 218

3.4.1方阵的化零多项式 218

3.4.2最小多项式 220

3.4.3最小多项式与方阵相似于对角矩阵的条件 224

3.5相似标准形的若干简单应用 226

3.5.1行列式求值与方阵求幂 226

3.5.2求与给定方阵可交换的方阵 232

3.5.3求解线性微分方程组 235

习题三 243

第四章 二次型与对称矩阵 251

4.1二次型及其标准形 251

4.1.1二次型及其矩阵表示 251

4.1.2二次型的标准形 253

4.1.3实对称矩阵的合同标准形 257

4.2惯性定理与二次型分类 259

4.2.1惯性定理 259

4.2.2实二次型的分类 261

4.2.3二次曲线与二次曲面的仿射分类 262

4.3正定二次型 266

4.3.1正定二次型 266

4.3.2二次型正定性判别法 267

4.4正交向量组与正交矩阵 272

4.4.1向量的内积 272

4.4.2正交向量组 275

4.4.3正交矩阵 278

4.5实对称矩阵的正交相似标准形 280

4.5.1实对称矩阵的特征值和特征向量 281

4.5.2实对称矩阵的正交相似标准形 282

4.5.3用正交替换化二次型为标准形 286

习题四 289

第五章 线性空间与线性变换 297

5.1线性空间的概念 297

5.1.1线性空间的定义 297

5.1.2线性空间的简单性质 298

5.1.3线性子空间 299

5.2线性空间的同构 300

5.2.1基·维数·坐标 300

5.2.2基变换与坐标变换 304

5.2.3线性空间的同构 310

5.3欧氏空间 313

5.3.1欧氏空间的定义与基本性质 314

5.3.2标准正交基 317

5.3.3欧氏空间的同构 319

5.4线性变换 320

5.4.1线性变换的概念与运算 320

5.4.2线性变换的性质 324

5.5线性变换的矩阵 325

5.5.1线性变换在给定基下的矩阵 325

5.5.2线性变换在不同基下矩阵间的关系 328

5.6线性变换的值域和核 335

5.6.1线性变换的值域和核的概念 335

5.6.2值域和核的维数 336

习题五 340

习题答案与提示 350

索引 380

参考文献 383