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1 常微分方程初值问题数值解法 1

1.1 引言 1

1.2 欧拉法（Euler方法） 1

1.2.1 欧拉方法 1

1.2.2 收敛性研究 4

1.2.3 稳定性研究 6

1.3 梯形法、隐式格式的迭代计算 7

1.4 一般单步法、Runge-Kutta格式 11

1.4.1 一种构造单步法的方法——泰勒级数法 11

1.4.2 一般单步法基本理论 12

1.4.3 Runge-kutta格式 16

1.4.4 误差控制和Runge-kutta-fehlberg法 22

1.5 线性多步法 25

1.6 误差的事后估计法、步长的自动选择 33

1.7 高阶常微分方程（组）的数值方法 36

习题1 40

2 抛物型方程的差分方法 42

2.1 差分格式建立的基础 42

2.2 显式差分格式 47

2.2.1 一维常系数热传导方程的古典显式格式 47

2.2.2 系数依赖于x的一维热传导方程的显式格式 50

2.3 隐式差分格式 52

2.3.1 古典隐式格式 52

2.3.2 Crank-Nicolson隐式格式 53

2.3.3 加权六点隐式格式 55

2.3.4 系数依赖于x,l的一维热传导方程的一个隐式格式的推导 56

2.4 解三对角型方程组的追赶法 57

2.5 差分格式的稳定性和收敛性 60

2.5.1 问题的提出 60

2.5.2 ε-图方法 62

2.5.3 稳定性定义、稳定性分析的矩阵方法 64

2.5.4 Gerschgorin定理及其在分析差分格式稳定性中的应用 74

2.5.5 稳定性分析的Fourier级数法（Von Neumann方法） 79

2.5.6 低阶项对稳定性的影响 87

2.5.7 差分格式的收敛性 88

2.5.8 相容逼近、Lax等价性定理 90

2.6.1 Richtmyer线性方法 91

2.6 非线性抛物型方程的差分解法举例 91

2.6.2 Lees三层差分格式 93

2.6.3 算例 94

2.7 二维抛物型方程的差分格式 95

2.7.1 二维抛物型方程显式差分格式 95

2.7.2 隐式差分格式 99

2.7.3 差分格式的稳定性分析 100

2.8 交替方向的隐式差分格式（ADI格式） 103

习题2 108

3 椭圆型方程的差分方法 111

3.1 正方形区域中的Laplace方程Dirichlet边值问题的差分模拟 111

3.2 Neumann边值问题的差分模拟 113

3.3 混合边值条件 116

3.4 非矩形区域 119

3.5 极坐标形式的差分格式 120

3.6 矩形区域上的Poisson方程的五点差分逼近的敛速分析 121

3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究 124

3.8 椭圆型差分方程的迭代解法 132

3.8.1 迭代法的基本理论 132

3.8.2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 135

3.8.3 椭圆型方程差分格式的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代收敛速度计算举例 137

3.8.4 超松驰迭代法 141

3.8.4.1 逐次超松驰迭代法 141

3.8.4.2 相容次序、性质（A）和最佳松驰因子的确定 143

3.8.4.3 收敛速度 149

3.9 多重网络法简介 150

3.9.1 一个简单的例子、MG方法基本思想 151

3.9.2 二重网络法、V循环 154

3.9.3 多重网格法 156

习题3 159

4 双曲型方程的差分方法 163

4.1 一阶拟线性双曲型方程的特征线法 163

4.1.1 一阶线性方程、特征线及Cauchy问题的解法 163

4.1.2 一阶拟线性方程Cauchy问题的特征线法 164

4.2 一阶拟线性双曲型方程组的特征线法 167

4.2.1 一阶拟线性双曲型方程组、特征、正规形式 167

4.2.2 举例 169

4.2.3 两个未知函数情形的特征线法 171

4.3 一阶双曲型方程的差分方法 177

4.3.1 Lax-Friedrichs格式 177

4.3.2 Courant-Isaacson-Rees格式 178

4.3.3 Leap-Frog格式（蛙跳格式） 181

4.3.4 Lax-Wendroff格式 182

4.3.5 Crank-Nicolson格式 183

4.4 一阶双曲型方程组的差分格式 184

4.4.1 Lax-Friedrichs格式 184

4.4.2 Courant-Isaacson-Rees格式 185

4.4.3 举例Courant-Friedrichs-Lewy条件 188

4.5 二阶线性双曲型方程的差分方法 191

4.5.1 显式差分格式 191

4.5.2 隐式差分格式 194

习题4 195

5 非线性双曲型守恒律方程的差分方法 198

5.1 非线性双曲型守恒律简介、弱解的定义 198

5.2 守恒型差分格式、Lax-Wendroff定理 202

5.3 单调差分格式 205

5.4 TVD差分格式 206

5.5 对一维方程组的推广 210

习题5 213

6 有限元方法简介 214

6.1 二阶常微分方程边值问题的有限元解法 214

6.2 偏微分边值问题的有限元法 219

参考文献 233