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第一章 一般理论 1

1. 预备定理 2

1.1. Ascoli-Arzela(阿斯卡里-阿尔采拉)定理 2

1.2. 不动点原理 3

2. 解的局部存在性定理 5

2.1. Picard逐次逼近法(压缩映象原理) 6

2.2. Euler折线法(差分法) 10

2.3. Schauder不动点方法 16

2.4. Cauchy的优级数法 18

2.5. 关于高阶方程解的存在性 26

3. 解的延展性定理 28

4. 微分(积分)不等式与比较定理 34

4.1. 第一比较定理 35

4.2. 最大解与最小解 36

4.3. 微分(积分)不等式 41

4.4. 第二比较定理 44

4.5. 某些推广 45

5. 非局部存在性定理 50

6. 唯一性定理 55

6.1. 问题的提出 55

6.2. Kamke一般唯一性定理 56

6.3. Kamke唯一性定理的一些推论 58

6.4. 整体唯一性定理 61

6.5. 解的唯一性与逐次逼近序列的关系 62

7. 解对初值与参数的相依性 63

7.1. 问题的提出 63

7.2. 解对初值与参数的连续性 65

7.3. 解对初值与参数的可微性 68

8. Caratheodory关于解的存在与唯一性定理 73

8.1. Caratheodory意义下解的概念 74

8.2. 解的存在定理 75

8.3. 解的唯一性定理 80

9. Banach空间中的微分方程 82

9.2. 关于解的存在性问题 83

9.1. 初值问题的提法 83

9.3. 关于解的唯一性问题 87

10. 带滞后的泛函微分方程 88

10.1. 前言 88

10.2. 基本概念 90

10.3. 基本定理 91

第一章习题 96

第二章 实域上的线性方程(组) 103

1. 预备知识 105

2. 线性组(方程)解的一般性质 110

2.1. 解的存在唯一性定理 110

2.2. 齐线性组解的性质 111

2.3. 齐线性组的降阶 113

2.4. 非齐次线性组解的性质 115

2.5. 高阶线性方程 116

3. 常系数线性组 119

3.1. 矩阵的指数函数eX 119

3.2. eAt的计算 121

3.3. 常系数线性组解的结构 122

4. 周期系数线性组·Floquet理论 124

4.1. 矩阵的对数函数logX 124

4.2. 周期系数线性组解的基本性质 125

5. 可化组 129

第二章习题 131

第三章 复域上的线性方程(组) 134

1. 正规齐次线性组 134

1.1. 存在唯一性定理 134

1.2. 推论 137

1.3. 基本解矩阵 137

2. 孤立奇异点 138

2.1. 问题的提出 138

2.2. 对数变换s=logz 139

2.3. Cauchy方程组 141

2.4. 解的定性结构 142

2.5. 解的估值 143

3. 奇异点的分类·Fuchs型方程组 145

3.1. 有限奇异点 145

3.2. 无限奇异点 149

3.3. Fuchs型方程组 150

4. 解的级数展开 152

4.1. Banach空间Hδ 152

4.2. 形式解·解的幂级数展开定理 154

4.3. 空间Hδ(0<δ<γ)上的两个算子 155

4.4. 解的幂级数展开定理的证明 156

4.5. 某些推论 158

4.6. 一般解的级数展开定理 160

4.7. Banach空间Hqδ 161

4.8. 引理 163

4.9. 一般解的级数展开定理的证明 164

4.10. 基本解组的建立 166

5. 二阶线性方程 171

5.1. 奇异点的分类 171

5.2. 无限奇异点 171

5.3. 例题 172

5.4. 解的级数展开 173

5.5. Fuchs型方程 180

第三章习题 188

1.1. 问题的提出 190

第四章 边值问题与特征值问题 190

1. Sturm-Liouville型边值问题 190

1.2. Sturm边值问题 192

1.3. 问题的转化 195

1.4. Green(格林)函数 197

1.5. S-L型边值问题解的积分表示 200

2. 一般线性组的边值问题 203

2.1. 解的存在唯一性定理 203

2.2. Green矩阵 204

2.3. 解的积分表示 205

3.1. 问题的提出 207

3. Sturm-Liouville特征值问题 207

3.2. 特征值与特征函数的两个基本性质 209

3.3. Prüfer变换 211

3.4. 关于函数ψ的性质 211

3.5. 特征值存在定理 216

4. 希尔伯特(Hilbert)空间内的自共轭算子 218

4.1. 内积空间 218

4.2. 希尔伯特(Hilbert)空间 219

4.3. 正规直交系和傅氏级数 220

4.4. 有界、自共轭、紧致算子 222

4.5. 紧致自共轭算子的特征值 224

5.1. Sturm-Liouville型特征值问题的转化 229

5. 按特征函数的展开定理 229

5.2. 展开定理 231

5.3. 展开定理的应用举例 237

第四章习题 240

第五章 定性理论基础 243

1. 一般定性理论中的概念、问题和方法 244

1.1. 定常系统及其解的基本性质 245

2.2. 度量空间中的一些基本概念 246

1.2. 常点 247

1.3. 奇点 249

1.4. 周期解、闭轨 250

1.5. 轨道的极限集合 252

习题 254

2. 不切线段及其性质 255

习题 262

3. Poincare-Bendixson定理 263

习题 269

4. 在闭轨附近的轨道分布 269

4.1. 关于极限环的存在性、唯一性等问题 270

4.2. 在闭轨附近的轨道分布·极限环的几何分类 280

习题 283

5. 在奇点附近轨道的分布 284

5.1. 奇点的几何分类 284

5.2. 在初等奇点附近轨道的分布 287

习题 299

6. 稳定性理论中的概念、问题和方法 300

6.1. 问题的提出 300

6.2. 稳定性的定义 301

6.3. 稳定性理论中的问题和方法 306

6.4. 辅助函数 306

6.5. 函数V符号性质的判别准则 308

习题 309

7. A. M.Ляпунов第二方法的基本定理 310

7.1. 稳定性定理 311

7.2. 不稳定性定理 312

7.3. 渐近稳定性定理 315

习题 322

8. 应用举例 323

9. 按首次近似决定的稳定性 326

9.1. 问题的提出 326

9.2. 常系数线性组零解的稳定性 327

9.3. 一个辅助定理 327

9.4. 常系数线性组函数V的存在性 329

9.5. 按首次近似决定的稳定性 332

9.6. 临界情况下稳定性问题简介 336

习题 337

10. 稳定性理论中的比较方法 338

习题 341

附录1 点集论中的一些记号和概念 343

1.1. 集和集的运算 343

附录 343

1.2. 映象(变换、函数或算子) 344

附录2 度量空间 345

2.1. 定义 345

2.3. 完备的度量空间 347

2.4. 连通的度量空间 348

2.5. 紧致的度量空间 349

3.1. 线性空间 350

附录3 有模线性空间·Banach空间 350

3.2. 线性子空间 351

3.3. 有模线性空间 352

3.4. 有限维有模线性空间 355

3.5. 线性算子 357

附录4 不动点原理 358

4.1. Banach压缩映象原理 358

4.2. Brouwer(布劳维尔)不动点定理 359

4.3. Schauder不动点定理 364

附录5 代数学上的两个重要定理的证明 369

参考文献 378