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前言 1

第1章 函数 1

1.1 实数集 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 逻辑符号 3

1.1.3 有理数集和实数集 3

1.1.4 区间和邻域 5

1.1.5 不等式 5

1.1.6 数集的界 6

1.2 函数 8

1.2.1 映射 8

1.2.2 函数的概念 10

1.2.3 函数的运算 12

1.2.4 函数的简单性质 14

1.2.5 基本初等函数 16

1.2.6 双曲函数 20

1.2.7 由隐方程、参数方程或极坐标方程表示的函数 21

习题1 24

第2章 极限和连续 30

2.1 数列的极限 30

2.1.1 数列 30

2.1.2 数列极限的定义 31

2.1.3 无穷小和无穷大 36

2.2 数列极限的性质和运算法则 36

2.2.1 数列极限的性质 36

2.2.2 数列极限的运算法则 40

2.3 数列极限存在的判别法 44

2.3.1 夹逼定理 44

2.3.2 单调有界数列极限存在定理 45

2.3.3 Cauchy收敛原理 49

2.4 函数的极限 50

2.4.1 函数极限的定义 50

2.4.2 函数极限的性质、运算法则和判别法 56

2.4.3 两个重要的函数极限 60

2.4.4 无穷小的比较 62

2.5 函数的连续 66

2.5.1 函数连续的定义 66

2.5.2 函数间断点的分类 68

2.5.3 连续函数的运算 70

2.5.4 初等函数的连续性 71

2.6 闭区间上连续函数的性质 72

2.7* 函数在区间上的一致连续 75

习题2 77

第3章 导数和微分 88

3.1 导数的概念 88

3.1.1 典型例子 88

3.1.2 导数的定义 91

3.1.3 可导与连续的关系 95

3.2.1 函数和、差、积、商的导数 97

3.2 函数求导法则 97

3.2.2 反函数的导数 100

3.2.3 复合函数的导数 102

3.2.4 隐函数的导数和参数方程表示的函数的导数 105

3.3 导数概念在实际问题中的应用 109

3.3.1 一些学科中的变化率问题的举例 109

3.3.2 相关变化率 112

3.4 微分及其应用 113

3.4.1 微分概念 113

3.4.2 微分运算法则 116

3.4.3 微分的应用 117

3.5 高阶导数 119

3.5.1 高阶导数的概念 119

3.5.2 高阶导数运算的Leibniz法则 122

习题3 124

4.1 微分中值定理 138

4.1.1 Fermat定理 138

第4章 微分中值定理和导数的应用 138

4.1.2 Rolle定理 139

4.1.3 Lagrange定理 141

4.1.4 Cauchy定理 144

4.2 L'Hospital法则 145

4.3 Taylor定理及其应用 150

4.3.1 Taylor定理 150

4.3.2 常用的Maclaurin公式及应用 153

4.4 利用导数研究函数的性态 156

4.4.1 函数的单调性和极值 157

4.4.2 函数的凸性和拐点 164

4.4.3 函数图形的描绘 168

4.5 曲线的曲率 173

4.5.1 曲线弧长的概念及其微分 173

4.5.2 曲率和曲率公式 174

4.6.1 二分法 178

4.6 方程的近似解 178

4.6.2 切线法（Newton法） 180

习题4 182

第5章 积分 194

5.1 定积分的概念 194

5.1.1 典型例子 194

5.1.2 定积分的定义 197

5.1.3 重要的可积函数类 200

5.2 定积分的性质 203

5.2.1 定积分的基本性质 203

5.2.2 积分中值定理 205

5.3 原函数和微积分基本定理 208

5.3.1 原函数和变上限积分 208

5.3.2 Newton-Leibnitz公式 211

5.3.3 不定积分 212

5.3.4 基本积分表 213

5.4.1 第一换元法（凑微分法） 216

5.4 积分法 216

5.4.2 第二换元法 219

5.4.3 分部积分法 224

5.4.4 几类常见函数的积分法 228

5.5 反常积分 234

5.5.1 无穷区间上的反常积分 234

5.5.2 无界函数的反常积分 237

5.5.3 反常积分敛散性的判别法 240

5.6.1 微元法 244

5.6 定积分的应用 244

5.6.2 定积分在几何中的应用 245

5.6.3 定积分在物理中的应用 257

5.7 定积分的近似计算 261

5.7.1 矩形法 262

5.7.2 梯形法 263

5.7.3 Simpson法 263

习题5 265

6.1 微分方程的基本概念 286

第6章 微分方程 286

6.2 一阶微分方程 289

6.2.1 可分离变量方程 289

6.2.2 齐次微分方程和其他可化为可分离变量 292

形式的方程 292

6.2.3 一阶线性微分方程 296

6.3 某些可降阶的高阶微分方程 299

6.4 线性微分方程解的结构 302

6.4.1 二阶线性齐次微分方程解的结构 303

6.4.2 二阶线性非齐次微分方程解的结构 305

6.5 常系数线性微分方程 308

6.5.1 常系数线性齐次微分方程 308

6.5.2 常系数线性非齐次微分方程 311

6.5.3 Euler方程 318

6.6 微分方程的数值解 320

习题6 324

习题答案 335