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第1章 微分流形 1

1.1 流形的定义和例子 1

1.2 子流形 7

1.3 单位分解 15

1.4 切空间和切映射 21

1.5 Sard定理及应用 29

1.6 Lie群初步 37

第2章 流形上的微积分 45

2.1 切丛和切向量场 45

2.2 可积性定理及应用 56

2.3 向量丛和纤维丛 63

2.4 张量丛 72

2.5 微分形式 80

2.6 带边流形 93

2.7 Stokes积分公式 97

第3章 流形的几何 105

3.1 度量回顾 105

3.2 联络 111

3.3 曲率 122

3.4 联络和曲率的计算 130

3.4.1 活动标架法 130

3.4.2 正规坐标 135

3.5 子流形几何 140

3.5.1 第二基本形式 140

3.5.2 活动标架法 143

3.5.3 极小子流形 144

3.5.4 黎曼淹没 152

3.6 齐性空间 156

3.6.1 Lie群和不变度量 156

3.6.2 齐性空间 160

3.6.3 对称空间 163

3.7 主丛及其联络 170

3.8 Gauss-Bonnet-Chern公式 180

3.8.1 向量场的指标 181

3.8.2 单位球丛上的计算 184

3.9 Chern-Weil理论 190

第4章 流形的上同调 205

4.1 Poincaré引理 205

4.1.1 Poincaré引理 205

4.1.2 映射度回顾 210

4.2 de Rham上同调群的计算 215

4.2.1 群作用与上同调 215

4.2.2 Mayer-Vietoris正合序列 222

4.3 Thom类和相交数 229

4.3.1 Thom类 229

4.3.2 相交数 233

4.4 Hodge理论 240

4.4.1 Hodge星算子 240

4.4.2 Bochner技巧 246

4.5 Dirac算子 253

4.5.1 Clifford代数 253

4.5.2 Clifford丛 262

第5章 流形上的椭圆算子 270

5.1 Sobolev空间 270

5.2 Hodge定理的证明 277

5.3 热方程与热核 284

5.4 迹与指标公式 296

5.5 指标公式的证明 304

5.5.1 谐振子 309

5.5.2 Atiyah-Singer指标定理 312

参考文献 318

索引 320