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第一部分 同步练习 3

第1章 行列式 3

1.1 本章知识结构图 3

1.2 内容提要 4

1.2.1 二阶、三阶行列式 4

1.2.2 排列 4

1.2.3 对换 5

1.2.4 n阶行列式 5

1.2.5 行列式的性质 6

1.2.6 余子式、代数余子式 6

1.2.7 子式、子式的余子式、子式的代数余子式 6

1.2.8 行列式展开定理 7

1.2.9 特殊的行列式的计算 7

1.3 典型例题分析 8

1.3.1 题型一 排列问题 8

1.3.2 题型二 利用定义计算行列式 9

1.3.3 题型三 利用性质计算行列式 9

1.3.4 题型四 行列式按行或列展开 12

1.3.5 题型五 行列式按拉普拉斯方法展开 16

1.4 习题精选 17

1.5 习题详解 20

第2章 矩阵 28

2.1 本章知识结构图 28

2.2 内容提要 29

2.2.1 矩阵的概念 29

2.2.2 一些特殊的矩阵 29

2.2.3 矩阵的运算 30

2.2.4 伴随矩阵 31

2.2.5 可逆矩阵 32

2.2.6 矩阵分块 32

2.2.7 分块矩阵的运算 33

2.2.8 线性方程组 34

2.2.9 克莱姆法则 34

2.3 典型例题分析 35

2.3.1 题型一 矩阵的乘法 35

2.3.2 题型二 矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法 38

2.3.3 题型三 矩阵的分块及分块运算 43

2.3.4 题型四 矩阵方程的求解 44

2.3.5 题型五 克莱姆法则的应用 45

2.4 习题精选 46

2.5 习题详解 48

第3章 矩阵的初等变换与线性方程组 52

3.1 本章知识结构图 52

3.2 内容提要 52

3.2.1 矩阵的初等变换 52

3.2.2 矩阵的秩 53

3.2.3 初等矩阵 53

3.2.4 用初等变换求逆矩阵及解矩阵方程 54

3.2.5 线性方程组解的判定定理 55

3.3 典型例题分析 55

3.3.1 题型一 矩阵等价的相关问题 55

3.3.2 题型二 矩阵秩的求解 56

3.3.3 题型三 矩阵秩的性质问题 57

3.3.4 题型四 利用初等变换求矩阵的逆矩阵 57

3.3.5 题型五 初等变换求解矩阵方程问题 58

3.3.6 题型六 解线性方程组的求解 59

3.3.7 题型七 解出含有参数的非齐次方程组解的问题 61

3.4 习题精选 62

3.5 习题详解 65

第4章 向量组的线性相关性 72

4.1 本章知识结构图 72

4.2 内容提要 73

4.2.1 向量的线性组合（线性表示） 73

4.2.2 向量组之间的线性表示 73

4.2.3 向量组的相关性 74

4.2.4 向量组线性相关的几个定理 74

4.2.5 向量组的极大无关组 74

4.2.6 向量组的秩 75

4.2.7 矩阵的秩与向量组的秩之间的关系 75

4.2.8 齐次线性方程组解的结构 75

4.2.9 非齐次线性方程组解的结构 76

4.2.10 向量空间 76

4.2.11 几个重要结论 77

4.3 典型例题分析 78

4.3.1 题型一 向量的线性表示问题 78

4.3.2 题型二 向量组的等价问题 80

4.3.3 题型三 向量组的线性相关性问题 80

4.3.4 题型四 极大线性无关组的求解 81

4.3.5 题型五 线性方程组的通解问题 82

4.3.6 题型六 含有参数的方程组的解的问题 83

4.3.7 题型七 矩阵秩的证明问题 84

4.3.8 题型八 向量空间中的基与坐标问题 85

4.4 习题精选 86

4.5 习题详解 90

第5章 相似矩阵 100

5.1 本章知识结构图 100

5.2 内容提要 100

5.2.1 向量的内积、长度及夹角 100

5.2.2 正交向量组 101

5.2.3 正交矩阵及正交变换 102

5.2.4 矩阵的迹 102

5.2.5 矩阵的特征值与特征向量 102

5.2.6 相似矩阵 104

5.2.7 一般矩阵的对角化 104

5.2.8 对称矩阵的对角化 105

5.3 典型例题分析 105

5.3.1 题型一 向量的内积、长度及正交问题 105

5.3.2 题型二 正交矩阵问题 107

5.3.3 题型三 特征值与特征向量问题的计算 108

5.3.4 题型四 特征值与特征向量的证明 109

5.3.5 题型五 相似矩阵问题 110

5.3.6 题型六 对称矩阵的对角化问题 114

5.4 习题精选 115

5.5 习题详解 118

第6章 二次型 126

6.1 本章知识结构图 126

6.2 内容提要 126

6.2.1 二次型及其矩阵表示 126

6.2.2 二次型的标准形与规范形 127

6.2.3 矩阵的合同 128

6.2.4 利用正交变换化二次型为标准形 128

6.2.5 用配方法化二次型为标准形 129

6.2.6 惯性定理 129

6.2.7 正定二次型与正定矩阵 130

6.2.8 顺序主子式 130

6.3 典型例题分析 130

6.3.1 题型一 二次型的基本概念 130

6.3.2 题型二 用配方法将二次型化为标准形 131

6.3.3 题型三 用正交变换法将二次型化为标准形 134

6.3.4 题型四 用初等变换法将二次型化为标准形 135

6.3.5 题型五 二次型的规范形的求解 137

6.3.6 题型六 矩阵的合同、相似问题 138

6.3.7 题型七 二次型（或二次型矩阵）正定性的判定 139

6.3.8 题型八 二次型的参数求解问题 140

6.3.9 题型九 二次型（二次型矩阵）的证明问题 141

6.4 习题精选 142

6.5 习题详解 144

第二部分 模拟试题及详解 153

模拟试题一 153

模拟试题二 156

模拟试题三 159

模拟试题四 162

模拟试题五 165

模拟试题六 168

模拟试题七 171

模拟试题八 174

模拟试题九 177

模拟试题十 179

模拟试题详解 182

模拟试题一详解 182

模拟试题二详解 186

模拟试题三详解 190

模拟试题四详解 195

模拟试题五详解 198

模拟试题六详解 202

模拟试题七详解 207

模拟试题八详解 210

模拟试题九详解 213

模拟试题十详解 218

参考文献 222