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第一部分 代数学的基础 1

第一章 代数学的起源 3

1 代数简述 4

2 一些典型问题 9

1 用根式表示方程的根的可能性 9

2．分子状态 11

3．编码信息 11

4．平板的受热问题 12

1．名词 13

3线性方程组．第一阶段 13

2．线性方程组的等价 16

3．化为阶梯形 17

4．对一个线性方程组的研究 19

5．一些评注和例题 21

4低阶行列式 23

习题 27

5集合与映射 28

1．集合 28

2．映射 31

习题 35

6等价关系．商映射 36

1．二元关系 36

2．等价关系 37

3．商映射 38

4．序集 40

习题 42

7数学归纳法原理 42

1．算术基本定理 47

8整数的算术 47

2．Z中的g.c.d和l.c.m 48

3．Z中的带余除法 49

习题 50

第二章 向量空间．矩阵 51

1 向量空间 51

1．问题的提出 51

2．基本定义 52

3．线性组合．线性包 54

4．线性相关性 56

5．基．维数 57

习题 60

2矩阵的秩 61

1．方程组的回顾 61

2．矩阵的秩 62

3．可解性判别准则 65

习题 66

3线性映射．矩阵运算 67

1．矩阵和映射 67

2．矩阵乘法 70

3．方阵 73

习题 79

4 解空间 81

1．解齐次线性方程组 81

2．线性流形．解非齐次线性方程组 85

3．矩阵乘积的秩 86

4．矩阵的等价类 87

习题 91

1．用归纳法构造 93

第三章 行列式 93

1 行列式构造和基本性质 93

2．行列式的基本性质 97

习题 103

2行列式的进一步性质 103

1．沿任一列展开行列式 103

2．行列式关于列的性质 104

3．转置行列式 105

4．特殊矩阵的行列式 108

5．行列式的公理化 112

习题 114

3行列式的应用 115

1．非奇异矩阵的判别准则 115

2．计算矩阵的秩 119

习题 120

第四章 代数系统——群，环，域 122

1 具有代数运算的集合 122

1．二元运算 122

2．半群和幺半群 123

3．结合律的推广．幂 125

4．可逆元素 127

习题 128

2 群 128

1．定义和例子 128

2．生成子系 131

3．循环群 133

4．对称群和交错群 135

习题 143

3群的态射 145

1．同构 145

2．同念 149

3．术语汇编．例子 151

4．子群的陪集 153

5．单同态sR→GL（n） 157

习题 160

4环和域 161

1．环的定义和一般性质 161

2．同余式．剩余类环 165

3．环同态和理想 167

4．商群和商环的概念 169

5．环的类型．域 172

6．域的特征 176

7．关于线性方程组的补充说明 179

习题 182

1 复数域 184

1．辅助结构 184

第五章 复数和多项式 184

2．复平面 186

3．复数运算的几何解释 186

4．乘幂和方根 190

5．唯一性定理 192

习题 195

2多项式环 196

1．一个变元的多项式 197

2．多变元的多项式 202

3．带余除法 205

习题 207

3多项式环的因式分解 209

1．整除性质初步 209

2．环中的g.c.d.和l.c.m 212

3．欧几里得环中的唯一因子分解 215

4．不可约多项式 218

习题 221

4 分式域 222

1．一个整环的分式域的构造 222

2．有理函数域 225

3．准素有理函数 226

习题 229

第六章 多项式的根 231

1根的一般性质 231

1．根和线性因子 231

2．多项式函数 234

3．多项式环中的微分法 236

4．重因式 238

5．维塔公式 240

习题 243

2对称多项式 245

1．对称多项式环 245

2．关于对称多项式的基本定理 246

3．待定系数法 249

4．多项式的判别式 252

5．结式 255

习题 258

1．基本定理的叙述 259

3 C是代数封闭的 259

2．多项式的分裂域 261

3．基本定理的证明 265

4 实系数的多项式 269

1．R［X］中的因式分解 269

2．分离多项式的根的问题 270

3．稳定多项式 275

习题 277

习题的提示 279

名词索引 284