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第一章 计算原函数的实用方法 1

1.1 引言 1

1.2 换元 2

1.3 分部积分的应用 3

1.4 例 4

1.5 同时应用两个基本方法 10

1.6 第一类简单被积函数的原函数 12

1.7 第二类简单被积函数的原函数 13

1.8 特殊方法 14

1.9 例 15

1.10 有理函数与指数函数的复合函数 20

练习 21

第二章 三角积分 23

2.1 一般方法 23

2.2 例 24

2.3 特殊方法 27

2.4 形如Ip,a=∫cospxsinqxdx的原函数，其中p和q都是整数 28

2.5 形如Im=∫sinmxdx和Jm=∫cosmxdx的原函数，其中m是自然数 29

2.6 形如In=∫dx/cosnx及Jn=∫dx/sinnx的原函数，其中n为非零自然数 32

2.7 例 33

2.8 形如In=∫tgnxdx的原函数，其中n是整数 35

2.9 Wallis积分 36

练习 38

第三章 阿贝尔积分 40

3.1 形如I=∫dx/？的原函数 40

3.2 例 41

3.3 形如I=∫dx/(px+q)？的原函数 42

3.4 形如I=∫？的原函数 43

3.5 例 44

3.6 形如I=∫R(x,？)dx的原函数，其中R是两个未定元的有理分式 45

3.7 例 46

3.8 形如I=∫R(x,？)dx的原函数，其中R是两个未定元的有理分式 47

3.9 例 47

练习 48

第四章 有限展开 50

4.1 控制关系 50

4.2 相似关系 51

4.3 优势关系 52

4.4 等价关系 53

4.5 在无穷大邻域的函数的比较 58

4.6 有限展开的定义 59

4.7 例 62

4.8 有限展开的积分 63

4.9 泰勒－杨公式 64

4.10 例 66

4.11 常用函数的有限展开 67

4.12 复合函数的有限展开 68

4.13 主部 70

4.14 求主部的例子 71

练习 72

第五章 不定型的研究 74

5.1 概论 74

5.2 应用主部的例子 75

5.3 导数的应用 80

5.4 应用有限展开的例子 82

练习 85

6.1 在形如［a,+∞］的区间上的积分 87

第六章 广义积分 87

6.2 非负实值函数的情况 90

6.3 绝对收敛和半收敛 93

6.4 广义积分的计算方法 94

6.5 在形如［-∞,b］的区间上的积分 96

6.6 整个区间R上的积分 96

6.7 非有界函数的积分 100

6.8 函数在积分限内变为无限的情形 103

练习 104

7.1 定义 107

第七章 数值级数 107

7.2 几何级数 108

7.3 从某一序号开始定义的级数 109

7.4 关于级数的线性运算 109

7.5 级数的项的有限集合的改变 110

7.6 收敛的必要条件 111

7.7 柯西准则 112

7.8 级数和的计算 112

7.9 非负实数级数的比较 114

7.10 非负实数级数的直接比较 115

7.11 级数与积分的比较 116

7.12 柯西法则 118

7.13 黎曼法则 120

7.14 级数的对数比较 121

7.15 达朗贝尔法则 122

7.16 绝对收敛 124

7.17 交错级数 124

7.18 最后注意 126

练习 128

第八章 整级数 130

8.1 函数级数 130

8.2 简单收敛和一致收敛 130

8.3 一致收敛级数的性质 132

8.4 收敛区间 133

8.5 例 134

8.6 整级数的导数和积分 135

8.7 整级数的代数运算 136

8.8 可展成整级数的函数 138

8.9 麦克劳林级数 140

8.10 复变数函数 143

8.11 二项式级数 144

8.12 整级数的和 147

8.13 在数值级数上的应用 149

练习 150

第九章 傅立叶级数 152

9.1 三角级数 152

9.2 正交函数 154

9.3 傅立叶级数 155

9.4 勒热纳－狄利克雷定理 157

9.5 任意周期的情况 159

9.6 傅立叶系数的实际计算 160

9.7 三角锯齿状函数 164

9.8 锯齿状函数 166

9.9 矩形信号 168

9.10 整流为交流半周的电流 169

9.11 几个电学结果 171

9.12 傅立叶级数的复数形式 172

9.13 锯齿状函数的复数展开 174

9.14 指数信号 175

9.15 整流成两个交流半周的电流 176

9.16 导数的傅立叶系数 178

9.17 原函数的傅立叶系数 180

9.18 平移的傅立叶系数 181

9.19 线性运算 183

9.20 卷积 183

9.21 帕斯瓦尔等式 184

9.22 记号 186

9.23 频谱 187

9.24 谱包络曲线 189

9.25 信号的分析 191

9.26 梯形信号的分析 192

9.27 矩形信号的分析 194

9.28 三角形信号的分析 197

9.29 正弦脉冲信号的分析 199

练习 202

10.1 卷积方程 207

10.2 傅立叶变换 207

第十章 傅立叶变换 207

10.3 傅立叶反演公式 209

10.4 例 209

10.5 偶函数或奇函数的情况 211

10.6 基本运算 212

10.7 卷积 213

10.8 积 214

10.9 帕斯瓦尔等式 215

第一章 216

练习解答 216

第二章 222

第三章 226

第四章 233

第五章 239

第六章 246

第七章 254

第八章 259

第九章 267

常用原函数 277

常用整级数展开 279