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第1章 矩阵运算与矩阵分解 1

1.1矩阵及其基本运算 1

1.1.1矩阵及其基本运算回顾 1

1.1.2矩阵的初等变换 3

1.2矩阵分解及其在解线性方程组中的应用 10

1.2.1矩阵的三角分解（LU分解） 10

1.2.2矩阵的正交三角分解（QR分解） 18

1.2.3矩阵的满秩分解 20

1.2.4矩阵的奇异值分解 21

1.3矩阵的特征值与特征向量 23

1.3.1特征值与特征向量 24

1.3.2特征值的估计 27

1.3.3求主特征值及其特征向量的幂法 29

1.3.4 QR方法简介 31

1.4矩阵的广义逆及其应用 33

1.4.1广义逆矩阵A - 33

1.4.2广义逆A+ 36

1.5应用案例 39

1.5.1电力系统小干扰稳定性分析 39

1.5.2火力发电机组热功效率的在线计算 43

1.5.3奇异值与特征值分解在谐波源定阶中的等价性 47

本章小结 49

习题1 50

第2章 线性空间与线性变换 53

2.1线性空间 53

2.1.1集合与映射 53

2.1.2线性空间 54

2.1.3线性空间的基、维数与坐标 55

2.1.4线性子空间 60

2.2赋范线性空间与矩阵范数 64

2.2.1赋范线性空间 64

2.2.2矩阵的范数 65

2.3内积空间 69

2.3.1内积的定义与性质 69

2.3.2向量的正交性与施密特（Schmidt）正交化方法 71

2.4矩阵分析初步 77

2.4.1矩阵序列的极限 77

2.4.2矩阵级数 78

2.4.3矩阵幂级数 79

2.4.4矩阵的微分和积分 81

2.5线性变换 82

2.5.1线性变换的定义与性质 82

2.5.2线性变换与矩阵 85

2.5.3线性变换的特征值与特征向量 88

2.5.4正交变换 89

2.6应用案例 90

2.6.1电路变换及其应用 90

2.6.2基于正交分解的MOA泄漏电流有功分量提取算法 96

2.6.3基于范数的唯一稳态消谐法及其应用 101

2.6.4线性变换在求高阶线性常微分方程特解中的应用 104

本章小结 107

习题2 108

第3章 矩阵的若尔当标准形与矩阵函数 112

3.1 λ矩阵及其史密斯（Smith）标准形 112

3.2矩阵的若尔当标准形 115

3.3最小多项式 119

3.4矩阵函数 125

3.5应用案例 128

3.5.1矩阵函数在求解电路暂态响应中的应用 128

3.5.2线性系统的能控性与能观性 129

3.5.3一阶线性常系数微分方程组和高阶线性常微分方程的初值问题的求解 132

本章小结 136

习题3 137

第4章 方程与方程组的数值解法 140

4.1线性方程组的迭代法 140

4.1.1迭代法的构造 140

4.1.2迭代法的收敛性与收敛速度 142

4.1.3几个常用的迭代法 144

4.2线性方程组的共轭梯度法 152

4.2.1共轭方向法 152

4.2.2共轭梯度法 153

4.3非线性方程的数值解法 156

4.3.1根的隔离与求方程实根的二分法和试位法 157

4.3.2不动点迭代法 162

4.3.3牛顿迭代法 169

4.4解非线性方程组的迭代法 173

4.4.1不动点迭代法 174

4.4.2牛顿迭代法 175

4.5应用案例 178

4.5.1电力系统潮流计算的数学模型及基本解法 178

4.5.2管路计算 186

4.5.3气-液平衡计算 190

4.5.4架空导线的应力计算 193

本章小结 194

习题4 195

第5章 数值逼近方法和数值微积分 198

5.1多项式插值 198

5.1.1插值问题与插值多项式 198

5.1.2拉格朗日（Lagrange）插值 201

5.1.3均差与牛顿插值公式 205

5.1.4埃尔米特（Hermite）插值 211

5.2数值积分 214

5.2.1数值求积公式及代数精度 215

5.2.2插值型求积公式 216

5.2.3等距节点的求积公式 217

5.2.4复化求积公式 219

5.2.5龙贝格（Romberg）求积法 222

5.2.6高斯（Gauss）型求积公式 227

5.3数值微分 231

5.3.1泰勒展开法求数值微分 232

5.3.2用插值多项式求数值微分 233

5.3.3将数值微分转化为求数值积分 236

5.4应用案例 237

5.4.1混频器中变频损耗的数值计算 237

5.4.2梯形平坡明渠的数值积分水力计算 239

本章小结 242

习题5 243

第6章 常微分方程的数值解法 247

6.1常微分方程初值问题的欧拉方法 247

6.1.1欧拉（Euler）法 248

6.1.2梯形法 250

6.1.3预测-校正法（改进欧拉法） 251

6.1.4局部截断误差 253

6.2龙格-库塔方法 254

6.3线性多步法 259

6.4边值问题的差分方法和打靶法简介 262

6.4.1解线性方程边值问题的差分方法 262

6.4.2打靶法 264

6.5应用案例 265

6.5.1无源元件的“瞬态伴随模型”的建立 265

6.5.2磁流体发电通道的数值计算 270

6.5.3平面温度场计算问题 272

本章小结 274

习题6 275

参考答案 277

参考文献 289