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第1章 集合论基础 1

1.1 集合的基础 1

1.2 集合的运算 3

1.3 映射 5

1.4 关系、次序关系、等价关系和分类 7

参考文献 12

第2章 群论基础 13

2.1 群的定义 13

2.2 子群和陪集 16

2.3 共轭与共轭类 18

2.4 不变子群与商群 19

2.5 同态与同构 21

2.6 同态的序列 23

2.7 直积群 24

参考文献 25

第3章 代数系和数系 27

3.1 代数系的概念 27

3.2 自然数及其性质 28

3.3 整数整域 29

3.4 体和有理数体 30

3.5 Cauchy数列和实数体 32

3.6 复数体和代数学基本定理 33

3.7 超复数数系 34

3.8 四元数系Q（R） 35

3.9 八元数系Ω和十六元数系T（R） 37

3.10 向量空间 38

3.11 体上的代数 40

3.12 例子：谐振子的能级 41

参考文献 43

第4章 向量空间的理论 44

4.1 向量空间中的一些基础理论 44

4.2 商空间 46

4.3 线性映射 47

4.4 对偶空间 49

4.5 不变子空间 51

4.6 Euclid空间 53

4.7 酉空间 55

参考文献 56

第5章 群表示论概要 58

5.1 群表示的概念 58

5.2 可约表示和完全可约表示 60

5.3 酉表示 62

5.4 矩阵的张量积与张量积空间中的变换 63

5.5 群表示论中的一些重要定理 64

5.6 正则表示 73

5.7 量子力学和群论 75

参考文献 77

第6章 张量的概念 79

6.1 SO（2）群及其向量 79

6.2 SO（2）群的张量 81

6.3 SO（3）群的张量 82

6.4 惯性张量 85

6.5 O（3）群的张量 87

6.6 齐次Lorentz群L 90

6.7 齐次Lorentz群L的张量及其结构 92

6.8 电磁场张量及Maxwell方程 93

6.9 4维不变量 95

参考文献 98

7.1 向量空间中基的变换和GL（n,K）群 99

10.4 外微分形式和向量场的微分运算 （1 99

第7章 线性群的张量 99

7.2 协变向量 100

7.3 GL（n,K）群的张量 103

7.4 线性张量的运算 105

7.5 张量分量的变换和张量的缩并 107

7.6 正交群的张量 110

7.7 张量代数J（V） 110

7.8 2阶反对称协变张量空间 111

7.9 协变张量的反称化 112

7.10 外积（反称积） 114

7.11 Ar（V）的构造 115

7.12 外代数 116

参考文献 117

第8章 O（3）群、SO（3）群和SU（2）群及其应用 118

8.1 道路连通性问题 118

8.2 SO（3）群的道路连通性 120

8.3 单连通的SU（2）群 122

8.4 SU（2）与SO（3）的2—1同态 123

8.5 四元数和有限转动的合成 126

8.6 SU（2）群和旋量 127

8.7 矩阵的指数函数及其性质 130

8.8 U（n）群及其Lie代数 131

8.9 SU（2）的几何意义 133

8.10 A1型Lie代数 134

8.11 A1型代数的Bose子算符实现 135

8.12 Lie代数及其表示的一般概念 137

8.13 A1型Lie代数的有限维既约表示的完全系 138

8.14 表示ρ的权以及ρ′？ρ″的约化 140

8.15 Clebsch-Gordan系数 143

8.16 既约张量算子 144

8.17 Wigner-Eckart定理和选择定则 145

8.18 SO（3）群的有限维既约表示的完全系 147

8.19 O（3）群的有限维既约表示的完全系 150

8.20 单电子原子多极矩跃迁的选择定则 151

参考文献 152

9.1 曲线坐标 154

第9章 曲线坐标和张量分析 154

9.2 曲线坐标下的基本度量形式 156

9.3 把张量的概念进一步扩展 158

9.4 曲线坐标下的向量和张量 161

9.5 曲线坐标系的基本方程 163

9.6 协变微分 166

9.7 梯度、散度和旋度作为协变导数 170

9.8 Newton方程在曲线坐标下的形式 174

9.9 仿射空间和Riemann空间 176

9.10 Minkowski几何 178

9.11 Riemann空间中的张量分析 182

9.12 Riemann曲率张量 186

9.13 Einstein场方程 188

9.14 短程线和力的几何化 191

参考文献 194

10.1 外微分形式和外积 195

第10章 R3中的外微分形式及其应用 195

10.2 向量代数与外积运算 197

10.3 外微分形式的外微分 197

10.5 热力学中的Maxwcll等式 200

10.6 Maxwcll方程组的外微分形式 201

10.7 外微分形式的积分以及Stokes定理 203

10.8 Stokes定理、散度定理和Green定理 205

10.9 完全可积和Frobcnius定理 208

10.10 闭形式和恰当形式及其应用 209

参考文献 212

第11章 拓扑空间 213

11.1 哥尼斯堡七桥问题 213

11.2 正多面体的Euler示性数 214

11.3 拓扑空间的引入 217

11.4 聚点、闭集和闭包 218

11.5 内点、外点和边界 220

11.6 邻域和邻域系 221

11.7 连续映射和同胚 222

11.8 特殊拓扑空间 224

11.9 拓扑空间的附加特性 228

参考文献 233

第12章 基本群 234

12.1 一个简单的例子 234

12.2 道路连通 235

12.3 闭道路和同伦 236

12.4 基本群 238

12.5 同伦映射和同伦型 241

12.6 Euclid单纯形、复形及三角剖分 245

12.7 基本群的计算定理 248

参考文献 250

第13章 高维同伦群和孤子 251

13.1 引言 251

13.2 高维同伦群的定义 252

13.3 相对同伦群 253

13.4 恰当序列 254

13.5 拓扑不变量 255

参考文献 261

第14章 流形 262

14.1 流形的引入 262

14.2 流形的定义 264

14.3 可微映射 267

14.4 可微映射的秩以及浸入、浸没、嵌入和子流形 268

14.5 切向量和切向量空间 271

14.6 C∞映射的微分 274

14.7 协变向量 276

14.8 积流形 277

14.9 向量场及其对数量场的作用 277

14.10 向量场的交换子积 278

参考文献 279

第15章 外微分形式 280

15.1 切张量和张量场 280

15.2 反称积 282

15.3 外微分运算d 284

15.4 闭形式、恰当形式和Poincaré引理 285

15.5 映射f的推进f*和拉回f 287

15.6 向量场与微分形式的内积 289

15.7 Lie导数问题 290

15.8 向量空间V上的度规 295

15.9 度规向量空间上的和流形上的Hodge*运算 296

15.10 余微分 301

15.11 向量值形式 303

参考文献 305

第16章 Lie群和Lie代数 306

16.1 Lie群的定义 306

16.2 左不变向量场 307

16.3 Lie群的Lie代数 309

16.4 Lie群和Lie代数的同态 310

16.5 Lie子群和Lie子代数 311

16.6 单参数子群 312

16.7 指数映射 313

16.8 伴随表示 315

16.9 变换群 316

16.10 典型群 318

16.11 典型群的Lie代数 319

16.12 Lie群上的不变形式 321

16.13 通用覆盖群 323

16.14 爱尔兰根纲领 325

参考文献 326

17.1 引言 327

第17章 纤维丛 327

17.2 纤维丛 329

17.3 切丛和余切丛 335

17.4 张量丛 337

17.5 向量丛 338

17.6 主（纤维）丛 339

17.7 伴丛 341

参考文献 344

18.1 位形空间、状态空间和相空间 345

第18章 Hamilton力学的辛结构 345

18.2 辛形式和辛流形 347

18.3 Hamilton向量场和Hamilton正则方程 347

18.4 Lagrange力学 348

18.5 Poisson括号和辛变换 351

18.6 正则变换问题 353

18.7 H显含时间t时的切触变换 355

18.8 H显含时间t时的正则变换 357

18.9 H显含时间t时的Poisson括号 359

参考文献 360

第19章 Frobenius理论 361

19.1 引言 361

19.2 从微分几何角度看完全可积问题 363

19.3 流形上的全微分方程 365

19.4 对偶分布 367

19.5 有关流形上外代数的一些术语 368

19.6 Frobenius定理的微分形式表述 369

19.7 Frobenius定理在热力学中的应用和Carathédory的不可接近定理 372

19.8极大积分流形 373

参考文献 374

第20章 同调群 375

20.1 无向单形和有向单形 375

20.2 单纯复合形和链 376

20.3 有关Abel群的一些理论 379

20.4 单纯复合形K的q维同调群 380

20.5 同调群的性质 384

20.6 同调群例 387

20.7 相对同调群 390

20.8 恰当序列和Kunneth公式 392

20.9 奇异同调群 397

20.10 流形的剖分 401

参考文献 402

第21章 流形上的积分理论 403

21.1 Euclid空间R11中的积分 403

21.2 向量空间的定向 405

21.3 流形的定向 406

21.4 诱导定向 408

21.5 Rn中的n次形式的积分 410

21.6 形式在链上的积分 411

21.7 定向流形上的积分 413

21.8 带边流形上的Stokes定理 419

21.9 微分形式作为多重线性映射观点下的积分 421

21.10 应用：力学中的不变积分 422

参考文献 426

22.1 流形上的deRham上同调群 427

第22章 deRham上同调群 427

22.2 deRham上同调群的例子 429

22.3 有紧致支集的deRham上同调群 434

22.4 deRham定理 435

22.5 映射度和环绕数 438

22.6 Laplace-Beltrami算子的另一些性质 440

22.7 Hodge分解定理及其在上同调群理论中的应用 442

22.8 Poincaré对偶性 445

22.9 上积 447

参考文献 448

第23章 Gauss-Bonnet定理、流形上的向量场和 449

数量场以及Morse理论 449

23.1 曲线和曲面上曲线的曲率 449

23.2 曲面的曲率 451

23.3 Gauss-Bonnet定理 453

23.4 从Gauss-Bonnet定理看闭曲面的Euler示性数 455

23.5 曲面的亏格和紧致曲面的分类 456

23.6 曲面上的向量场 460

23.7 奇点的指数以及Poincare定理 462

23.8 Morse理论的一个例子 464

23.9 Morse不等式 466

参考文献 468

第24章 仿射联络空间和Riemann流形 469

24.1 引言 469

24.2 仿射联络 471

24.3 张量的协变微分 474

24.4 仿射联络的挠率与曲率 476

24.5 无挠率仿射联络空间Lon上的几何 478

24.6 Riemann度量 481

24.7 Riemann流形的基本定理 483

24.8 Riemann流形中的体积元 488

24.9 公理化方法 490

24.10 其他 495

参考文献 497

第25章 应用：电动力学 498

25.1 向量场的势和上同调理论 498

25.2 真空中Maxwell方程组的回顾 501

25.3 规范场Aμ 503

25.4 Minkowski流形及其上的电磁场张量 506

25.5 U（1）丛和主丛 509

25.6 主丛上的联络形式和曲率形式 513

25.7 U（1）丛上的联络与电磁场 517

25.8 A-B效应与微分几何 518

25.9 含自由磁荷和磁流的Maxwell方程组 520

25.10 从电荷守恒定律推出Maxwell方程组的数学形式 524

参考文献 526