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第一章 函数与极限 1

第一节 映射与函数 1

一、集合 1

二、映射 5

三、函数 7

习题1-1 20

第二节 数列的极限 23

一、数列极限的定义 23

二、收敛数列的性质 27

习题1-2 30

一、函数极限的定义 31

第三节 函数的极限 31

二、函数极限的性质 36

习题1-3 37

第四节 无穷小与无穷大 38

一、无穷小 38

二、无穷大 39

习题1-4 41

第五节 极限运算法则 42

习题1-5 48

第六节 极限存在准则 两个重要极限 49

习题1-6 55

第七节 无穷小的比较 56

一、函数的连续性 59

习题1-7 59

第八节 函数的连续性与间断点 59

二、函数的间断点 62

习题1-8 64

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 65

一、连续函数的和、差、积、商的连续性 65

二、反函数与复合函数的连续性 65

三、初等函数的连续性 67

习题1-9 68

第十节 闭区间上连续函数的性质 69

一、有界性与最大值最小值定理 69

二、零点定理与介值定理 70

三、一致连续性 72

习题1-10 73

总习题一 73

第二章 导数与微分 76

第一节 导数概念 76

一、引例 76

二、导数的定义 78

三、导数的几何意义 82

四、函数可导性与连续性的关系 84

习题2-1 85

第二节 函数的求导法则 86

一、函数的和、差、积、商的求导法则 86

二、反函数的求导法则 89

三、复合函数的求导法则 91

四、基本求导法则与导数公式 93

习题2-2 96

第三节 高阶导数 97

习题2-3 101

第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 102

一、隐函数的导数 102

二、由参数方程所确定的函数的导数 106

三、相关变化率 110

习题2-4 110

第五节 函数的微分 112

一、微分的定义 112

二、微分的几何意义 114

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 115

四、微分在近似计算中的应用 118

习题2-5 122

总习题二 124

第三章 微分中值定理与导数的应用 126

第一节 微分中值定理 126

一、罗尔定理 126

二、拉格朗日中值定理 127

三、柯西中值定理 130

习题3-1 132

第二节 洛必达法则 133

第三节 泰勒公式 137

习题3-2 137

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 143

一、函数单调性的判定法 143

习题3-3 143

二、曲线的凹凸性与拐点 147

习题3-4 151

第五节 函数的极值与最大值最小值 152

一、函数的极值及其求法 152

二、最大值最小值问题 156

习题3-5 160

第六节 函数图形的描绘 162

习题3-6 166

一、弧微分 167

第七节 曲率 167

二、曲率及其计算公式 168

三、曲率圆与曲率半径 171

四、曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线 173

习题3-7 175

第八节 方程的近似解 176

一、二分法 176

二、切线法 178

习题3-8 180

总习题三 180

一、原函数与不定积分的概念 182

第四章 不定积分 182

第一节 不定积分的概念与性质 182

二、基本积分表 186

三、不定积分的性质 187

习题4-1 190

第二节 换元积分法 191

一、第一类换元法 191

二、第二类换元法 198

习题4-2 204

第三节 分部积分法 206

习题4-3 210

第四节 有理函数的积分 210

一、有理函数的积分 211

二、可化为有理函数的积分举例 216

习题4-4 218

第五节 积分表的使用 218

习题4-5 221

总习题四 221

第五章 定积分 223

第一节 定积分的概念与性质 223

一、定积分问题举例 223

二、定积分定义 225

三、定积分的性质 229

习题5-1 233

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 234

第二节 微积分基本公式 234

二、积分上限的函数及其导数 235

三、牛顿-莱布尼茨公式 236

习题5-2 240

第三节 定积分的换元法和分部积分法 242

一、定积分的换元法 242

二、定积分的分部积分法 247

习题5-3 249

第四节 反常积分 250

一、无穷限的反常积分 250

二、无界函数的反常积分 253

一、无穷限反常积分的审敛法 256

习题5-4 256

第五节 反常积分的审敛法 Γ函数 256

二、无界函数的反常积分的审敛法 260

三、Γ函数 261

习题5-5 263

总习题五 264

第六章 定积分的应用 267

第一节 定积分的元素法 267

第二节 定积分在几何学上的应用 269

一、平面图形的面积 269

二、体积 273

三、平面曲线的弧长 276

习题6-2 279

第三节 定积分在物理学上的应用 282

一、变力沿直线所作的功 282

二、水压力 285

三、引力 286

习题6-3 287

总习题六 288

第七章 空间解析几何与向量代数 289

第一节 向量及其线性运算 289

一、向量概念 289

二、向量的线性运算 290

三、空间直角坐标系 294

四、利用坐标作向量的线性运算 295

五、向量的模、方向角、投影 297

习题7-1 300

第二节 数量积 向量积 混合积 301

一、两向量的数量积 301

二、两向量的向量积 305

三、向量的混合积 308

习题7-2 309

第三节 曲面及其方程 310

一、曲面方程的概念 310

二、旋转曲面 312

三、柱面 314

四、二次曲面 315

习题7-3 318

第四节 空间曲线及其方程 319

一、空间曲线的一般方程 319

二、空间曲线的参数方程 320

三、空间曲线在坐标面上的投影 323

习题7-4 324

第五节 平面及其方程 325

一、平面的点法式方程 325

二、平面的一般方程 326

三、两平面的夹角 328

习题7-5 329

第六节 空间直线及其方程 330

一、空间直线的一般方程 330

二、空间直线的对称式方程与参数方程 330

三、两直线的夹角 332

四、直线与平面的夹角 333

五、杂例 333

习题7-6 335

总习题七 337

附录Ⅰ 二阶和三阶行列式简介 339

附录Ⅱ 几种常用的曲线 344

附录Ⅲ 积分表 347

习题答案与提示 356